I. Cadre de l’électrostatique

1. L’interaction électromagnétique

Au 17 ème siècle Newton découvrit les équations de la gravité. Cette interaction permit d'expliquer le mouvement les planètes, de satellites et la chute des pommes ! Mais malheureusement (ou heureusement tout dépend du point de vue) cette interaction est incapable d'expliquer les arcs en ciel, la couleur du ciel, ni même l'attraction de quelques bouts de papier par une règle. Pour expliquer ces phénomènes, il nous faut découvrir une nouvelle interaction: l'interaction électromagnétique. Et tout comme l'interaction gravitationnelle a pour source la masse, l'interaction électromagnétique aura ses sources : les charges et les charges en mouvements (que nous appellerons courants). En réalité, on distinguera : - l'étude des charges fixes qu'on appelle électrostatique - l'étude de courants qu'on appelle magnétostatique - l'étude des deux phénomènes simultanément : c'est l'électromagnétisme. Nous serons donc raisonnable et nous commencerons par le plus simple : l’étude de charges fixes, mais tout d’abord qu’est ce qu’une charge ??

2. La charge électrique

Il est assez intuitif pour nous de définir la masse, un objet aura une masse importante si il est difficile pour nous de le déplacer, ça c’est de l’interaction gravitationnelle, c’est notre expérience quotidienne ! Pour la charge, c’est un peu plus délicat parce qu’elles se cachent. En réalité, toute matière contient des charges mais il en existe deux catégories : - Les charges positives - Les charges négatives Et lorsqu’on rassemble une charge positive et une charge négative, on ne voit plus la charge, on dit que l’édifice est neutre. Et c’est principalement à cause de ce rassemblement des charges que nous ne « voyons » pas les charges ! Ce qu’il faut savoir sur ces charges c’est qu’elles se conservent, si on crée une charge en un endroit, alors il y en a une qui a disparu ailleurs, en gros on ne peut que les déplacer ! Et nous voilà à l’objet du paragraphe suivant : déplacer des charges afin d’observer l’interaction entre charges.

3. L’interaction électrostatique

Commençons par une expérience vieille comme le monde : on déchire quelques petits morceaux de papiers que l’on pose sur une table. On prend ensuite une règle que l’on frotte énergiquement avec une peau de chat (ou un chiffon en laine, ça nous évitera de faire du mal à un pauvre chat !). Lorsqu’on approche la règle des bouts de papiers on constate qu’ils sont attirés par la règle et qu’ils s’y collent ! Pourquoi le papier se retrouve-t-il attiré par la règle ?? Lors du frottement, on a arraché des électrons à la règle, on perturbe donc la neutralité de celle-ci qui s’en retrouve affligée d’une charge positive. De leur coté, les morceaux de papier ont tous leurs électrons et il semblerait que les électrons qui sont des charges négatives soient attirées par les charges positives de la règle. Mais ne nous arrêtons pas là avec cette expérience. On peut y découvrir une autre caractéristique de l’interaction entre les charges, car si la règle est trop éloignée des bouts de papiers elle ne les attire pas !! C’est donc que l’intensité de l’interaction électrique décroit avec la distance ! Vous retiendrez donc que : - L’interaction électrostatique ne s’exerce qu’entre deux charges électriques - Les charges de même signe se repoussent tandis que les charges de signes contraires s’attirent - L’interaction électrique décroit (rapidement) avec la distance entre les charges Il est à présent temps d’aller un peu plus loin et de quantifier un peu les choses (ce qui implique quelque notions de mathématiques…)

II. Force et champ électrique

1. La force de Coulomb

Une idée simple pour bâtir les bases de l’électrostatique c’est de s’appuyer sur ce que nous connaissons déjà : la gravitation ! Les lois physiques ont en effet toutes une heureuse tendance à se ressembler. Ainsi si on se rappelle de la force de gravitation :

On constate que plus les masses m1 et m2 sont grandes, plus la force est grande et d’autre part que l’intensité de cette force décroit comme le carré des distance entre les masses, le signe moins quand à lui n’est là que pour signifier que cette force est attractive. Ces résultats ne sont pas sans rappeler les résultats que nous avons obtenus sur l’interaction électrostatique. On pourrait donc écrire (en prenant soin d’enlever le signe - :

Et voyons si cette expression est en accord avec les observations expérimentales :¨ - Si les charges q1 et q2 sont de même signe, la force et la force sont de sens opposées et les charges se repoussent - Si les charges q1 et q2 sont de signe opposé, le produit q1q2 est négatif et les forces et sont de sens opposé et tendent à rassembler les charges - La force que nous avons écrite est en elle décroit donc avec la distance entre les charges A priori, toutes les constatations expérimentales sont vérifiées et nous validerons cette expression en précisant toutefois la nature du coefficient K. Et on retiendra que la force qu’une particule de charge q2 exerce sur une charge q1 placée à une distance r de la précédente est la force de Coulomb :

Où est la permittivité du milieu contenant les charges, dans le vide = 0, la permittivité du vide. Et voilà, nous avons décrit à l’aide de cette seule force l’électrostatique, tout est là, dans cette expression car Newton nous a dit comment relier la force aux mouvements, aux vitesses ! mais rassurez-vous nous ne nous arrêterons pas là pour autant parce que les phénomènes de l’électrostatique sont parfois compliqués à décrire en termes de force et qu’il nous faudra de nouveaux outils… tels que le champ électrique !

2. Le champ électrique

La première qu’on m’a parlé de champ électrique (ou magnétique d’ailleurs) je me suis tout de suite surpris aux magnifiques champs de force des films de science fiction, et je me suis dis : ça existe !!! ça y est ! Eh bien je ne voudrais pas vous décevoir mais nous sommes encore loin d’être capable d’arrêter les balles avec de l’interaction électrique… nous le vérifierons plus tard. Alors qu’est ce que c’est que ce champ électrique ?? Imaginons que nous déposions une charge q en un point M de l’espace, tant qu’une autre charge ne passe pas à proximité de q, rien ne nous dit qu’elle existe ! Pourtant elle est là et d’une certaine manière elle modifie les propriétés du milieu qui l’entoure (en effet, si une autre charge passe elle sera attirée ou repoussée). Et le champ électrique a été défini pour représenter l’action des charges sur le milieu qui les entoure : on dit qu’une charge électrique placée en un point M crée autour de ce point un champ électrique . Ce champ électrique est tel que si une charge q2 vient à passer à proximité de q, elle subira alors la force :

Dans le cas où ce champ électrique est créé par une charge ponctuelle, cette force dont il question ci-dessus n’est autre que la force de Coulomb dont nous avons établi l’expression et on pourra écrire :

D’où :

Vous voyez, finalement on en revient toujours à la force de Coulomb. L’intérêt c’est que maintenant, même si il n’y a qu’une charge présente, on pourra dire elle crée un champ électrique alors qu’il nous était impossible de dire qu’elle créait une force !

3. Théorème de superposition

Pour l’instant nous ne nous sommes intéressés qu’à l’interaction entre deux charges, et on pourrait trouver cette étude un peu restrictive : que se passerait-il s’il y en avait trois, quatre, dix cent ??? A première vu le problème pourrait devenir complexe mais ces lois que nous venons d’écrire sont en réalité d’une simplicité étonnante et parce qu’elles sont linéaires en fonction de la charge ! cette propriété si pratique s’appelle additivité pou théorème de superposition : Si une deux charges q1 et q2 sont placées en deux points de l’espace, en un point M à proximité de ces charges, elles crée un champ électrique qui n’est autre que la somme des champs créés par chacune des charges isolées. On écrira donc :

Pour l’instant ce théorème peut sembler trivial mais il prendra tout son sens dans la seconde partie de ce cours.

III. Energie et potentiel électrostatique

1. Energie d’un système de charges

S’il existe une force entre deux objet c’est que cet ensemble possède une énergie, il faudra se fatiguer pour les maintenir ensemble ou pour les séparer : ce constat se retrouve en électrostatique. Supposons que deux charges q1 et q2 soient à une distance rA l’une de l’autre. Supposons aussi qu’elles soient de charge opposée (+e et –e par exemple), elles s’attirent donc ! Maintenant tentons de séparer les charges, c'est-à-dire que nous tentons de tirer q2 vers une distance rB. Quel travail faut-il fournir ? Finalement, le travail ne dépend pas du chemin suivi (tout comme pour le poids) la force électrique est donc une force conservative. Reprenons le résultat précédent : , ce résultat peut se mettre sous la forme :

Ce résultat n’est pas sans rappeler ce que nous avions obtenu en calculant le travail du poids nous avions alors où Ep représentait l’énergie potentielle de pesanteur. Eh bien c’est la même chose ici, Epe représente l’énergie potentielle électrostatique. Si les charges sont de signe opposé, cette énergie potentielle est négative, dans le cas contraire elle sera positive.

2. Le potentiel électrostatique

La notion d’énergie potentielle électrostatique a le même défaut que le concept de force dont elle découle : il faut au moins deux charges pour la définir ! Et qu’adviendrait-il de notre charge unique q posée en un point M de l’espace, ne pourrait-on pas lui donner une connotation énergétique ? Bien sur que si, cette chargée placée en un point de l’espace a du potentiel : elle pourrait attirer une seconde charge qui viendrait à passer à proximité en lui conférant par la même occasion de l’énergie ! On dit alors qu’en un point M à proximité d’une charge q il règne un potentiel électrostatique V(M) tel qu’en y plaçant une charge q2, l’énergie dacquise par cette charge soit donnée par :

Et en identifiant cette expression avec l’expression de l’énergie électrostatique que nous avons défini ci-dessus, on voit que dans le cas d’une charge ponctuelle le potentiel en un point M à une distance r de cette charge est donné par :

IV. Cartographie de l’interaction électrostatique

1. Les surfaces équipotentielles

Nous avons vu qu’il existait une certaine ressemblance entre l’énergie potentielle de pesanteur et l’énergie potentielle électrostatique, et bien allons un peu plus loin dans l’analogie ! Lorsqu’on part en randonnée il est parfois nécessaire de se munir d’une carte (bien sur tout le monde n’a pas un GPS dans sa montre !) et si vous avez déjà vu l’une de ces cartes, vous aurez remarqué qu’elles présentent en général des lignes de niveau indiquant les surfaces d’altitude constante. Or si l’altitude est constante, l’énergie potentielle de pesanteur aussi : ces lignes sont donc représentative se surfaces équipotentielles. Pour l’interaction électrique, on peut faire la même chose et on appellera surface équipotentielle une surface en tout point de laquelle le potentiel électrostatique V(M) est constant. Dans le cas d’une charge ponctuelle q, nous avons vu que le potentiel électrostatique est donné par , son expression n’est donc fonction que de la distance r par rapport à la charge, les surfaces équipotentielles seront par conséquent des sphères.

2. Les lignes de champ

Les surfaces équipotentielles nous informent sur l’énergie d’une charge qu’on poserait en un point M de l’espace mais il se pourrait qu’en plaçant la charge au point M, celle-ci se mette en mouvement et il serait bien pratique de le savoir : l’outil qui va nous le dire ce sont les lignes de champ électrique. On appelle ligne de champ électrique un ensemble de points de l’espace en lesquels le champ électrique est tangent. Ces lignes de champs nous indiquent donc la direction du champ électrique, et par la même occasion la direction dans laquelle s’exerce l’interaction électrique ! Et puisque nous sommes en si bon chemin, il serait dommage de s’arrêter là : c’est pourquoi on oriente les lignes de champ électrique dans le sens du champ électrique, de cette façon, on saura aussi dans quel sens s’exerce l’action. Si on considère toujours l’exemple de la charge ponctuelle, les lignes de champ électrique sont des droites dont le point d’intersection est la charge elle-même. Si cette charge est positive, le champ électrique est centrifuge, si elle négative elle est centripète.

3. Une relation entre ligne de champ et surface équipotentielle

Sur le schéma représentant ligne de champ et surface équipotentielle dans le cas d’une charge ponctuelle positive, on remarque que les lignes de champ sont perpendiculaires aux surfaces équipotentielles : cas particulier ou vérité générale ?? Eh bien une fois n’est pas coutume : c’est une vérité générale ! les lignes de champ sont toujours perpendiculaires aux surfaces équipotentielles et je m’en vais vous le prouvez… Tout d’abord revenons en à ce champ électrique, il est le fruit d’une variation du potentiel électrique (il y a plus de charges à un endroit qu’à un autre…) et d’un point de vue mathématique, on pourra écrire que le champ électrique ets un champ de gradient :

Le gradient exprime tout simplement la variation du potentiel électrique dans l’espace, dans les coordonnées cartésiennes, il s’écrit :

Que dire du signe moins alors ?? Eh bien si vous observez le cas d’une charge ponctuelle positive, vous verrez que le champ électrique fuit cette charge positive, il se dirige donc vers une zone où le potentiel est nul. La réalité est encore plus forte que cela : le champ électrique se dirige toujours vers les potentiels les plus bas et c’est ça que traduit le signe ‘-‘ ! Considérons maintenant deux surfaces équipotentielles, et déplaçons légèrement un point M sur l’une d’elles.

Sur une surface équipotentielle, la variation dV du potentiel électrique est nul, or :

Ce qui peut aussi s’écrire :

On en conclut alors :

Et finalement, nous venons de montrer que le gradient de potentiel est toujours perpendiculaire à la surface équipotentielle : Le champ électrique est donc toujours perpendiculaire aux surfaces équipotentielles !!!

I. Distribution de charges et symétries

1. Question de symétrie

La première partie du cours d’électrostatique introduit les notions essentielles à l’étude des phénomènes mettant en jeu des charges fixes ; En revanche cette première partie (puisqu’il faut bien lui trouver un défaut ;-)) se limite souvent à une charge, au plus deux et c’est une lacune à laquelle nous devons remédier. Vous imaginez bien que les choses vont avoir tendance à se compliquer lorsque nous allons traiter d’un ensemble de charge réparties uniformément ou non dans l’espace mais pas de panique, la résolution des problèmes d’électrostatique peut grandement se simplifier par l’étude des symétries… et pour être un peu plus précis celle des plans de symétrie. Tout d’abord commençons par rappeler ce qu’est un plan de symétrie. Prenons pour exemple un carré de coté a, il existe pour ce carré deux plans de symétrie : ce sont les deux plans qui passent par les milieux de deux cotés opposés ; si on coupe le carré suivant un de ces plans, il est possible de reconstruire le carré entier en le « dépliant » ; et bien un plan de symétrie c’est ce qui nous permet d’étudier une partie du système et de retrouver par la suite les propriétés du système entier.

Voilà ça c’est pour l’aspect « mathématique », en physique il n’y a pas que la symétrie qui compte pour dire si un plan est un plan de symétrie, car il peut y avoir des plans d’antisymétrie. Pour illustrer ce terme reprenons le carré de coté a et introduisons dans ce carré des charges négatives etdes charges positives réparties comme indiqué sur le schéma suivant.

Dans cette configuration les deux plans que nous avions précédemment appelés plans de symétrie ne sont plus tous deux des plans de symétrie :

Pour le plan vert pas de soucis, il permet bien de retrouver le carré en dépliant la moitié qu’il définit : c’est un plan de symétrie Pour le plan orangé, pour reconstruire le carré, il faut « déplier » et changer les charges négatives en positives (et inversement) on parlera alors de plans d’antisymétrie. En gros c’est un plan de symétrie mathématique mais qui change les propriétés physiques en leur opposé. La différence entre plans de symétrie et plans d’antisymétrie doit être bien claire pour vous avant de continuer, c’est bon, c’est limpide ? et bien en avant ! Tentons de retrouver une relation entre le champ électrique et ces fameux plans de symétrie à travers deux exemples du premier chapitre. Dans le cas d’une charge ponctuelle, tous les plans passant par cette charge sont plans de symétrie si bien que l’intersection de tous ces plans correspond aux rayons d’une sphère centrée sur la charge. Or la loi de coulomb nous a montré que le champ électrique est justement de direction radiale, il semblerait qu’il soit contenu par ces plans de symétrie Dans le cas d’un condensateur plan (plans supposés infini), tous les plans perpendiculaires aux plaques sont des plans de symétrie et il semblerait encore une fois que le champ électrique est appartient à ces plans. On remarquera dans ce cas que le plan parallèle aux plaques et coupant en deux parties égales le condensateur plan est un plan d’antisymétrie et le champ électrique lui est perpendiculaire !

Nous retiendrons donc, même si ces deux exemples ne constituent pas une démonstration, que le champ électrique appartient aux plans de symétrie et est perpendiculaire aux plans d’antisymétrie.

2. Distribution linéique

La symétrie nous permet de traiter de problèmes mettant en jeu de nombreuses charges électrique, et nous allons nous intéresser à un nombre de charges si grand qu’il nous sera impossible de les compter séparément, on fera donc comme s’il s’agissait d’un ensemble continu de charge. Lorsque ces charges sont réparties sur une courbe, tel qu’un fil par exemple, on parlera de distribution linéique de charge. La charge dq portée par un élément dl de courbe sera alors donnée par :

Le coefficient s’exprime en coulomb par mètre et représente la charge portée par élément de longueur.

3. Distribution surfacique

Lorsque ces charges sont réparties sur une surface, tel qu’un plan, on parlera de distribution surfacique de charge. La charge dq portée par un élément dS de surface sera alors donnée par :

Le coefficient s’exprime en coulomb par mètre carré et représente la charge portée par élément de surface.

4. Distribution volumique

Lorsque ces charges sont réparties sur un volume, tel qu’une sphère, on parlera de distribution volumique de charge. La charge dq portée par un élément dt de volume sera alors donnée par :

Le coefficient s’exprime en coulomb par mètre cube et représente la charge portée par élément de volume.

II. Champ électrique créé par une distribution de charges

1. Problématique

En appliquant la loi de Coulomb dans le cas d’une répartition continue de charge, on tombe sur les expressions suivantes donnant le champ électrique créé par une distribution de charge en un point M de l'espace : Pour une distribution volumique:

Pour une distribution surfacique:

Pour une distribution linéique:

Ces expressions sont pour le moins complexes et nous ne nous amuserons à calculer ces intégrales que dans certains cas biens particuliers. La majeure partie du temps, on va chercher plus simple...

2. La charge électrique

Pour déterminer le champ électrique, il faudra procéder en deux étapes: Utiliser les symétries pour déterminer la direction du champ électrique Retrouver l'expression du champ électrique via un théorème appelé théorème de gauss dont l'énoncé est le suivant... Le flux du vecteur champ électrique à travers une surface fermée est égal à la charge contenue à l'intérieur de cette surface fermée divisée par On peut donc écrire :

Pas si simple que ça a priori, mais bien plus simple qu'il n'y parait! Cependant si vous voulez bien, voyons ce que cette relation devient si nous utilisons, d'une part une répartition volumique de charge (ce qui est le cas le plus général) et d'autre part le théorème de Green-Ostrogradsky:

Et de cette équation nous déduisons:

Cette dernière équation traduit le théorème de Gauss sous forme locale. Les deux formes sont équivalentes et pour vous en persuader nous allons les utiliser...

3. Un vieux souvenir..

Reprenons le cas simple ( trop simple!) d'une charge ponctuelle q placée en un point M de l'espace. Ce cas va nous servir à établir une méthodologie. Utilisation des symétries L'ensemble des plans passant par la charge sont des plans de symétrie.

Comme nous l'avons vu, le champ électrique appartient à tous les plans de symétrie, il possède donc une direction radiale. L'étude des symétrie peut encore nous en apprendre un peu plus: le champ électrique est créé par la charge, en conséquence il ne peut être fonction que de la distance à la charge, nous pouvons donc écrire en coordonées sphériques

Définition d'une surface fermée Les symétries nous ont déjà bien aidées et ce sont encore elles qui vont nous guider pour définir la surface fermée dont il est question dans le théorème de Gauss. Le problème présente une symétrie sphérique nous prendrons donc comme surface une sphère de rayon R centrée sur la charge q. Application du théorème de Gauss L'avantage de la sphère comme surface fermée c'est que sur sa surface, le champ électrique est constant, dans le théorème de Gauss, ceci se traduit par:

Et l'application du théorème de Gauss devient facile maintenant :

Et finalement:

Et on retrouve l'expression du champ électrique créé par une charge ponctuelle!

4. Fil infini chargé uniformément

On peut passer maintenant à un autre cas d'école, un fil chargé uniformément portant une charge linéique

Symétrie Tous les plans contenant le fil (celui-ci matérialisant l'intersection de tous ces plans) sont plans de symétrie, le champ électrique appartient à tous ces plans. D'autre part, quelque soit le plan perpendiculaire au fil il est plan de symétrie car le fil est infini. En conclusion le champ électrique appartient au vecteur radial du système de coordonnées polaires. On écrira donc encore :

Surface de gauss On choisit comme surface de Gauss, un cylindre infini de rayon R. Avec cette surface, le champ électrique est constant sur la surface du cylindre et le flux à travers les disques qui 'ferment' le cylindre est nul!

Application du théorème de Gauss Pour appliquer le théorème nous allons nous concentrer sur une hauteur h de fil, la charge portée par cette portion de fil est donc :

Le flux du champ électrique à travers la portion de cylindre correspondante est :

Et finalement le champ électrique créé par un fil infini uniformément chargé est donnée par :

5. Sphère uniformément chargée en surface

Intéressons nous maintenant à une sphère de rayon R chargée uniformément en surface, la charge totale portée par cette charge est donc donnée par :

Voyons quel est le champ électrique créé par cette sphère. Etude des symétries Tous les plans qui coupent la sphère en deux parties égales sont des plans de symétrie, le champ électrique appartient à tous ces plans, il est donc de direction radiale. De plus, le champ électrique n'est encore une fois fonction que de la distance r entre le centre O de la sphère et le point M où on se place. On écrira donc:

Définition de la surface de Gauss En suivant la même logique que pour une charge ponctuelle, on prendra comme surface de Gauss, une sphère de rayon r. Expression du champ électrique Pour calculer le champ électrique, on distinguera deux cas : Le cas où la surface de gauss est à l'intérieur de la sphère rR. Dans ce cas le théorème de Gauss s'écrit :

Soit :

Finalement, nous écrirons :

6. Sphère uniformément chargée en volume

En gros il s'agit de reprendre la sphère précédente et au lieu de répartir les charges électriques sur la surface du 'globe' on la répartit dans tout le volume de la sphère. La charge Q ainsi portée par cette sphère est donnée par :

Voyons quel est le champ électrique créé par cette sphère. Etude des symétrie Les symétries sont les mêmes que dans le cas précédent, on écrira donc :

Définition de la surface de Gauss La définition de la surface de Gauss étant issue de l'étude des symétries, nous prendrons comme précédemment une sphère de rayon r comme surface de Gauss. Détermination du champ électrique Là encore il faut considérer deux cas de figures : Le cas où la surface de Gauss est à l'intérieur de la sphère r

L'application du théorème de Gauss donne alors :

Soit finalement :

Le cas où la surface de Gauss est à l'extérieur de la sphère r>R. Dans ce cas la charge dans la surface de Gauss est :

L'application du théorème de Gauss donne alors :

Soit finalement :

7. Plan chargé en surface

Un dernier exemple pour finir, on considère un plan infini chargé en surface, la charge par unité de surface sera notée Etude des symétries Quelque soit le plan perpendiculaire au plan chargé, ce plan est plan de symétrie, le champ électrique appartient à l'intersection de ces plans de symétrie, il sera par conséquent perpendiculaire au plan chargé. Dans une repère cylindrique, le champ électrique sera porté par le vecteur De plus, le champ électrique ne peut être fonction que de l'altitude a laquelle on se trouve au dessus ou en dessous du plan. On écrira donc :

Définition de la surface de Gauss Nous choisirons comme surface de Gauss un cylindre de rayon r et de hauteur h. Le vecteur champ électrique étant porté par le vecteur unitaire son flux à travers les parois latérales est nul ce qui semble bien pratique! Détermination du champ électrique La charge contenu à l'intérieur du cylindre est :

En ce qui concerne le flux il y en a un au travers des deux bases du cylindre, et celui-ci étant coupé en deux parties égales par le plan chargé, on peut écrire :

Finalement l'application du théorème de Gauss donne :

IIII. Calculs de potentiels

1. La méthode

Les exemples précédents vous ont certainement familiarisé avec les calculs de champ électrique, les calculs de potentiels ont pour point de départ les expressions précédemment établies. A ces expressions, il faudra ajouter la relation liant champ électrique et potentiel électrostatique :

Cette relation permet d'écrire dans le système cartésien :

Vous l'aurez donc compris, pour trouver le potentiel, il va falloir intégrer! Le calcul se déroulera donc en deux étapes: Trouver une primitive du champ électrique Utiliser les conditions limites et les applique afin de déterminer complètement le potentiel électrostatique.

2. Quelques cas simples

Comme le point de départ des calculs de potentiel est le champ électrique, nous allons utiliser les résultats du paragraphe précédent afin de calculer les potentiels associés. Le fil infiniment chargé Le champ électrique a pour expression:

En coordonnées cylindriques, on peut écrire:

On en déduit donc :

En intégrant, on obtient donc :

Pour déterminer cette constante, il faut fixer de manière arbitraire une valeur de potentiel à une distance r0 du fil tout comme on peut poser arbitrairement que l'énergie potentielle d epesanteur est nul à la surface de la Terre... La sphère chargée en surface Dans ce cas, nous avions obtenu pour le champ électrique :

En coordonnées sphériques, on peut aussi écrire :

Et on en déduit par intégration :

Et encore une fois, regardons ã l'infini, le potentiel y est nul, la constante est donc elle aussi nulle et on retiendra que pour une sphère chargée en surface :

Nous n'avons traité là que le potentiel créé en dehors de la sphère, à l'intérieur de celle-ci le champ électrique est nul et par conséquent le potentiel est constant. Pour obtenir cette constante, pas question d'aller voir à l'infini, on doit rester a l'intérieur de la sphère et le plus loin qu'on puisse aller c'est la surface de la sphère et en ce point on connait le potentiel, il vaut :

La sphère chargée en volume Dans ce cas encore, nous commencerons par étudier ce qui se passe à l'extérieur de la sphère. Dans cette partie de l'espace nous avions obtenu:

En procédant de la même manière que précédemment, on obtient pour le potentiel :

A l'intérieur de la sphère, le champ électrique a pour expression:

Cette fois-ci l'intégration donne :

Pour trouver la constante, il faut Encore se placer à la surface de la sphère où le potentiel est donné par :

On peut donc écrire :

Donc :

Et enfin le potentiel a l'intérieur de la sphère est:

Et nous nous arrêterons là pour les exemples!

I. Les équations locales

1. Intégrales et locales

En électrostatique comme en magnétostatique, nous avons rencontré un certains nombre de formules intégrales, par exemple en électrostatique, le théorème de Gauss s'écrivait :

Ce théorème nous dit que le flux du vecteur champ électrique à travers une surface fermée est égale à la charge contenue dans cette surface divisée par une certaine constante. Cette propriété est une propriété intégrale, mais en physique vous devez garder à l'esprit qu'une intégrale n'est rien d'autre qu'une somme et une propriété qui s'applique sur toute une surface fermée doit bien découler d'une propriété sur un tout petit élément de surface autour d'un point donné. Une propriété portant sur toute la surface fermée porte le nom de propriété intégrale, une propriété (ou loi) s'appliquant autour d'un seul point de l'espace porte le nom de propriété locale. D'un point de vue mathématique, une propriété intégrale va s'exprimer à l'aide ... d'intégrale (logique!) tandis qu'une propriété locale s'exprime à l'aide de dérivée, de différentielle ou au dans le cas le plus général d'opérateur vectoriel découlant tous du vecteur nabla (noté )et défini dans les coordonnées cartésiennes par:

Ce chapitre a pour but de présenter les lois régissant les champs électrique et magnétique créés par des charges et des courants évoluant dans le temps, et vous verrez que ces lois sont nettement plus compacte lorsqu'on les présente sous forme d'équations locales. Il vous faudra donc souvent jongler entre forme intégrale et forme locale et pour que ces transitions se fassent sans embuches, je me permets de vous rappeler (ou de vous donner) deux théorèmes bien pratiques :

• Le théorème de Stokes

  

• Le théorème de Green-Ostrogradsky

  

Ces deux théorèmes vont en particulier nous donner l'opportunité de dégager les équations locales de l'électrostatique et de la magnétostatique.

2. Le champ électrique

Reprenons le théorème de gauss, donné par l'équation intégrale du paragraphe précédent et appliquons lui le théorème de Green-Ostrogradsky , on obtient alors:

Et on en déduit :

Équation qui n'est autre que la forme locale du théorème de Gauss. Elle a donc le même sens mais ne fait pas appel à des intégrales, elle est par conséquent bien plus compacte (c'est plus joli comme ça!). Intéressons nous maintenant à un circuit filiforme fermé, par exemple un simple fil dont vous auriez joints les deux bouts. La circulation du champ électrique sur ce contour fermé donne pour résultat: zéro (et oui il n'y a pas de différence de potentiel entre le point de départ et le point d'arrivée!). ce constat peut s'écrire mathématique ment sous la forme:

En appliqaunt à l'équation intégrale précédente le théorème de Stokes, on obtient:

C'est donc une seconde équation locale pour le champ électrique et on peut passer de cette équation locale à son équivalent intégral par le théorème de Stokes. Nous venons d'obtenir deux équation locales mais je vous avais annoncé un peu plus tôt que ces équations s'écrivait toutes en fonction du vecteur ...vous devez donc vous demander où est ce fameux nabla?? Pour satisfaire à votre curiosité bien placée, voici quelques éléments de réponse, chacun des opérateur vectoriel qu'introduisent les théorèmes de Stokes et de Green-Ostrogradsky s'écrivent en fonction de $\vec{\nabla}$ et bien d'autre alors voici un petit tableau pour résumer le tout.

Ce tableau vous semble peut-être un peu barbare, mais gardez le à l'esprit, je ne vous demanderai pas de faire de l'analyse vectorielle mais on peut déduire de ce tableau deux choses bien utiles:

• Si un certain vecteur s'écrit alors à coup sur (ceci découle d'une des propriété du produit vectoriel)
• Si un certain vecteur alors à coup sur (ceci découle d'une des propriété du produit vectoriel)

3. Le potentiel électrique

Si vous avez compris les dernière remarques du paragraphe précédent, il vous semble maintenant d'autant plus logique d'écrire le champ électrique sous la forme:

le scalaire V est appelé potentiel électrique (ou électrostatique dans notre cas) et l'équation précédente est une équation locale qui détermine en partie le potentiel électrique. On peut, en s'appuyant sur l'expression locale du théorème de Gauss, former la divergence de cette équation et on obtient:

Équation qui porte le nom d'équation de Poisson et qui est aussi une équation locale. Au final, nous avons donc deux équations locales pour le champ électrique et deux équations locales pour le potentiel électrique.

4. Le champ magnétique

Dans la partie magnétostatique II, on vous a présenté le théorème d'Ampère sous la forme:

En y introduisant la densité de courants , et le théorème de Stokes ce théorème d'Ampère devient:

Et finalement on obtient une première équation locale:

d'autre part en magnétostatique, nous avons pu comprendre que le champ magnétique était un champ à flux conservatif ce qui s'écrivait sous forme intégrale:

L'application du théorème de Green-Ostrogradsky à cette équation intégrale nous conduit à écrire:

Au final nous avons donc deux équations locales pour le champ magnétique, mais peut-on parler de potentiel magnétique comme nous avons parlé de potentiel électrique?

5. Le potentiel vecteur

On a introduit le potentiel électrique en remarquant que le champ électrique ne devait son existence qu'à la différence de potentiel entre deux points, c'est comme cela que nous sommes arrivés à écrire l'équation définissant le potentiel électrique, la discussion sur les opérateurs vectoriels n'ont fait que confirmer cette écriture. Pour ce qui est du champ magnétique, les choses sont un peu moins intuitives et nous ferons donc confiance aux opérateurs vectoriels. Puisque la divergence du champ magnétique est nul, alors on peut écrire:

Le vecteur est appelé potentiel vecteur, sa connaissance nous permet de déterminer le champ magnétique et vice-versa. De plus cette équation est une équation locale. Mais ne nous arrêtons pas là, si le potentiel électrique est soumis à deux équations locales,le potentiel vecteur, lui aussi, doit être régit par deux équations locales! Pour trouver l'équation mystère, reprenons la première équation locale et mêlons-y le théorème d'Ampère, on peut ainsi formé le rotationel de celle-ci:

Or on peut prendre sans que ça ne change les équations que nous avons, cela s'appelle choisir une jauge et puisque cela nous simplifie la vie, pourquoi pas! Finalement il ne reste plus que:

Et nous tenons là notre seconde équation locale qui ressemble comme deux gouttes d'eau à l'équation de Poisson, à ceci près qu'elle est vectorielle!!! Qu'importe cette équation permet la détermination du potentiel vecteur qui lui même permet la détermination du champ magnétique, elle est pas belle la vie!

II. Le problème de l'équation de conservation de la charge

1. L'équation de conservation

S'il est des principes qui nous tiennent à coeur en physique ce sont les principes de conservations, on en voit en mécanique du point,en mécanique des fluides, en relativité, en mécanique quantique et ces principes ont une fâcheuse tendance à nous simplifier la vie. il est donc normal de trouver une loi de conservation en électromagnétisme. nous nous intéresserons dans ce chapitre à un ensemble de charge électriques en mouvement, ce déplacement va créer un courant mais comme la vitesse de déplacement peut varier ces courants non plus ne seront pas constant...ça fait l'air compliquer comme ça de trouver une loi de conservation mais pas tant que ça vous verrez! Prenons un petit volume de l'espace, ce petit volume contient initialement une charge électrique q et sous l'action des diverses tortures que nous allons faire subir à ce volume, la charge qu'il contient va changer avec le temps, logique! Cette charge ne peut pas s'évaporer, soit des charges sont entrées dans le volume, soit des charges en sont sorties. La variation de charge dans le volume avec le temps d'un point de vue mathématique ça s'écrit , l'échange de charges à travers la surface fermée entourant le volume est donnée par:

le signe n'est là que pour compter positivement les charges qui entrent et négativement les charges qui sortent. On peut finalement écrire:

En y introduisant le théorème de Green-Ostrogradsky, et une distribution volumique de charge:

Finalement, l'équation de conservation de la charge s'écrit sous forme locale:

Bon, nous avons l'équation, ne reste plus qu'à s'en servir!

2. Régime statique

En régime stationnaire, l'équation de conservation de la charge devient:

Ce qui concordant avec nos équations locales puisqu'on peut calculer cette divergence à partir de l'équation \ref{AmpereLoc} et on obtiendrait:

Donc en régime stationnaire (cas statique) pas de soucis avec les équations locales!

3. Régime variable

Reprenons l'équation de continuité mais cette fois-ci en régime variable. Pour ce qui est de la divergence de du vecteur densité de courant, les calculs précédents restent valables et on obtiendrait par conséquent :

Équation qui est incompatible avec le régime variable!! il semblerait donc que l'équation d'Ampère \ref{AmpereLoc} ne soit pas valable en régime variable, il faudra donc procéder à une modification des équations locales de l'électrostatique et de la magnétostatique.

III. Les équations de Maxwell dans le vide

1. Milieux et vide en électromagnétisme

Le titre de ce paragraphe peut vous surprendre, quelle idée d'étudier des champs magnétiques et électriques dans le vide, dans le vide, il n'y a pas de charges et pas de courants, donc pas de champs c'est trop facile!!! Je vous rassure tout de suite, j'aime bien simplifier les choses mais pas à ce point là, en électromagnétisme la définition de vide et de milieux est un peu particulière. Dans tous les cas qui nous ont été proposés jusqu'ici les champs ont pour source des charges et des courants dont on a la maitrise, on peut fixer le courant à 1A ou la charge à 1C c'est ce que nous appelons des sources libres, rien ne vous empêche de déplacer le fil ou la sphère chargée. Si il existe des sources libres, c'est par opposition aux sources liées qui ne sont rien d'autre que les électrons à l'intérieur de la matière, ceux-ci peuvent se déplacer un peu mais ils seront toujours rattachés à leurs noyaux et on ne pourra pas les déplacer librement. On appellera donc électromagnétisme des milieux l'étude des champs électriques et magnétiques en présence de charges et de courants liés, l'électromagnétisme du vide, se rapportera donc à l'étude des champs lorsqu'il y a des charges libres ou lorsque ces charges sont à l'infini! Une dernière petite remarque sur les charges liées, il s'agit en général de grandeurs microscopiques dont les variations individuelles ne sont pas mesurables, nous n'avons accès qu'à des grandeurs nivelées (à des moyennes) et ce sont ces grandeurs nivellées que nous devrons prendre comme source des champs électriques et magnétiques.

2. Des équations locales aux équations de Maxwell

L'incompatibilité des équations locales issue de l'étude des régimes stationnaire a été mise à jour par le biais de l'équation de conservation de la charge, reprenons donc cette équation pour essayer de trouver d'autres équations locales s'appliquant aux champs électrique et magnétique dans le cas des régimes variables. Nous considérerons pour cela que l'équation locale issue du théorème de Gauss reste valable en régime variable et on l'appellera équation de Maxwell-Gauss.

La divergence du vecteur est nulle on peut donc écrire :

Soit sous une forme plus usuelle:

Cette équation porte le nom d'équation de Maxwell-Ampère, et on constate que si le champ électrique est constant on retrouve la forme locale du théorème d'Ampère. Nous sommes donc en présence de deux équations locales valables en régime variable, il devrait nous en manquer deux. La première va nous être donnée par l'expérience, lorsqu'on bouge un aimant devant une spire, il apparait aux bornes de la spire une différence de potentiel, c'est le phénomène d'induction magnétique qui se traduit par la loi de Faraday :

Loi qui peut se reformuler en :

Et après application du théorème de Stokes, on en déduit l'équation de Maxwell-Faraday:

La dernière équation porte sur le champ magnétique, ce champ est à flux conservatif en régime stationnaire, il n'y a pas de raison pour que ça ne soit pas le cas en régime variable, nous garderons donc en régime variable l'équation:

Nous venons donc de retrouver (et en aucun cas de démontrer) quatre équations qui à elles seules permettent de déterminer entièrement les champs électrique et magnétique en régime variable. Voici un petit tableau regroupant ces quatre équations.

3. Autour des équations de Maxwell

Les équations de Maxwell peuvent se classer en deux groupes:

• Deux équations qui font apparaitre à la fois les champs électrique et magnétique et qui rendent ces champs indissociables, excepté dans le cas statique où les champs se découplent.
• Deux équations dans lesquelles les champs électrique et magnétique apparaissent séparément et qui sont identiques aux équations locales issues des régimes stationnaires

Les équations que nous avons rassemblées dans le tableau portent le nom d'équation de Maxwell dans le vide, il y apparait des charges et des courants libres, si vous vous demandez déjà ce que deviennent ces équations dans les milieux, il suffit d'y rajouter les sources liées et on obtient les quatre équations suivantes:

Nous reviendrons sur l'électromagnétisme des milieux dans une autre partie de cours.

IV. Discontinuité des champs

1. Répartition surfacique

Les champs électriques et magnétiques connaissent en régime stationnaire des discontinuités à la traversée de surface chargée pour le champ électrique et à la traversée d'une répartition surfacique de courant pour le champ magnétique. On se propose de voir dans cette partie si ces discontinuités sont encore présentes en régime variable. Commençons donc par décrire ces répartition et pour se fixer les idées, nous commencerons par la répartition surfacique de charge. Un plan chargé en surface a tout de même une épaisseur, très faible certes mais une épaisseur qu'on notera a. La charge portée par ce plan peut donc s'écrire :

Or

et on en déduit:

L'épaisseur a étant très petite, l'intégration ne peut être finie que si la charge volumique est très grande et par conséquent la variation de champ électrique sera très importante dans cette direction et faible dans les autres. A chaque fois que l'on aura à faire à une répartition surfacique, on pourra considérer que les variation sont très importantes sur l'axe Oz (perpendiculaire au plan) et que les autres variations seront négligeables, mathématiquement, cela revient à écrire pour une grandeur g quelconque (charge ou courant)

Seule la variation des grandeurs sur l'axe z n'est pas nulle, les seules dérivées partielles que nous ne prendrons pas pour nulles sont celles suivant z. Et nous allons utiliser ce résultat pour étudier les éventuelles discontinuité des champs à la traversée d'une distribution surfacique.

2. Discontinuité du champ électrique

Pour mettre en avant la discontinuité du champ électrique à la traversée d'une surface uniformément chargée, nous allons utiliser le résultat précédent et l'équation de Maxwell-Gauss. Dans le repère cartésien, on peut écrire:

soit d'après le paragraphe précédent:

Et on en déduit:

Et en intégrant entre 0 et a:

Finalement, on retiendra:

pour ce qui est des autres composantes du champ électrique, nous allons utiliser l'équation de Maxwell-Faraday dans le repère cartésien: \begin{array}{ccc}

En intégrant et en ne gardant que les dérivée par rapport à z, on obtient:

On peut donc rassembler toutes les équations sous la forme:

En régime variable, la discontinuité du champ électrique à la traversée d'une surface chargée est la même qu'en régime stationnaire!

3. Discontinuité du champ magnétique

Pour établir les relations de passage pour le champ magnétique, on utilise la relation de Maxwell-Ampère dans le repère cartésien:

Et en suivant les mêmes simplifications que pour le champ électrique et en notant que le vecteur densité de courant n'a pas de composante sur l'axe Oz, ce groupe d'équation devient:

Finalement, on peut écrire:

Là encore la discontinuité est la même qu'en régime stationnaire, les champs électriques et magnétiques sont donc bien les même, les équations de Maxwell sont générales et elles permettent de retrouver les équations obtenues en électrostatique et en magnétostatique. Voyons maintenant ce qu'il advient des potentiels...

V. Potentiels

1. Les potentiels

Vous vous rappelez de la manière avec laquelle nous avons introduit les potentiels pour les régimes stationnaires au début de ce chapitre, eh bien nous allons procéder exactement de la même manière pour le régime variable. Commençons par le plus simple, le champ magnétique obéit toujours à l'équation locale:

on peut donc toujours écrire que le champ magnétique est défini par un potentiel vecteur tel que:

Pour le champ électrique, l'équation locale a quelque peu changée et l'équation de Maxwell-Faraday donne:

En y introduisant le potentiel vecteur, cette équation devient:

Soit en permutant l'ordre des opérateurs spatiaux et temporels:

Equation qui nous permet d'écrire:

Et finalement:

où V est le potentiel scalaire. On retiendra qu'en régime variable le champ électrique dépend à la fois du potentiel scalaire et du potentiel vecteur. Du fait des particularités mathématiques des opérateurs vectoriels, il pèse une certaine indétermination, une liberté dans l'écriture des potentiels et nous allons voir que ces libertés nous permettent de simplifier les choses, mais à chaque simplification correspond la perte d'une liberté: c'est ce qu'on appelle en électromagnétisme définir une jauge.

2. Les jauges

Nous allons reprendre ici les deux équations sur les potentiels et et y introduire les deux équations de Maxwell contenant les termes de sources. Commençons par l'équation de Maxwell-Ampère:

Soit finalement:

Poursuivons avec l'équation de Maxwell-Gauss:

Soit finalement:

Ces deux équations sont couplées, elles font apparaitre à la fois le potentiel scalaire et le potentiel vecteur mais il est possible de les découpler en profitant de la liberté que nous laisse la définition des potentiels. On distinguera deux jauges (deux choix):

• La jauge de Coulomb qui consiste à poser:

  

  ce qui permet d'écrire:

  

• La jauge de Lorentz qui consiste à poser:

  

  ce qui permet d'écrire les équations sur les potentiels :

  

  dont les solutions sont appelées potentiels retardés...

3. Les jauges

Les équations obtenues avec la jauge de Lorentz ont pour solution les expressions suivantes:

Avec . Ces solutions portent le nom de potentiels retardés et ressemblent beaucoup aux solutions que nous avions obtenus dans le cas statique, mais ne vous fiez pas à ces apparences trompeuses: l'intégration dans ces expressions porte sur la charge ou le courant à un instant antérieur $t-\frac{r}{c}$. La différence est capitale et rend l'intégration très délicate. Concrètement, la situation est la même que pour l'observation des étoiles, ce que nous voyons est l'image de l'étoile il y a des lustres de cela ici, le potentiel est le potentiel qui a été créé par la distribution qui était présente au temps $t-\frac{r}{c}$. Bien que le calculs des potentiels retardés soient une chose délicate, ils constituent une solution aux équations de Maxwell et ils sont très utiles dans le cas d'une charge ponctuelle. Dans le cas d'une charge ponctuelle, l'expression des potentiels retardés porte le nom de Potentiels de Liénard-Wiechert et leur expression est la suivante:

Nous retrouverons ces expressions dans le cours sur la diffusion de Rayleigh et le bleu du ciel...

VI. Potentiels

1. Les potentiels

Vous vous rappelez de la manière avec laquelle nous avons introduit les potentiels pour les régimes stationnaires au début de ce chapitre, eh bien nous allons procéder exactement de la même manière pour le régime variable. Commençons par le plus simple, le champ magnétique obéit toujours à l'équation locale:

on peut donc toujours écrire que le champ magnétique est défini par un potentiel vecteur tel que:

Pour le champ électrique, l'équation locale a quelque peu changée et l'équation de Maxwell-Faraday donne:

En y introduisant le potentiel vecteur, cette équation devient:

Soit en permutant l'ordre des opérateurs spatiaux et temporels:

Equation qui nous permet d'écrire:

Et finalement:

où V est le potentiel scalaire. On retiendra qu'en régime variable le champ électrique dépend à la fois du potentiel scalaire et du potentiel vecteur. Du fait des particularités mathématiques des opérateurs vectoriels, il pèse une certaine indétermination, une liberté dans l'écriture des potentiels et nous allons voir que ces libertés nous permettent de simplifier les choses, mais à chaque simplification correspond la perte d'une liberté: c'est ce qu'on appelle en électromagnétisme définir une jauge.

2. Les jauges

Nous allons reprendre ici les deux équations sur les potentiels et et y introduire les deux équations de Maxwell contenant les termes de sources. Commençons par l'équation de Maxwell-Ampère:

Soit finalement:

Poursuivons avec l'équation de Maxwell-Gauss:

Soit finalement:

Ces deux équations sont couplées, elles font apparaitre à la fois le potentiel scalaire et le potentiel vecteur mais il est possible de les découpler en profitant de la liberté que nous laisse la définition des potentiels. On distinguera deux jauges (deux choix):

• La jauge de Coulomb qui consiste à poser:

  

  ce qui permet d'écrire:

  

• La jauge de Lorentz qui consiste à poser:

  

  ce qui permet d'écrire les équations sur les potentiels :

  

  dont les solutions sont appelées potentiels retardés...

I. Courants et aimants

1. Pierres d'aimants

Certaines découvertes sont si anciennes qu'on ne sait pas les dater, parmi elles se trouvent la découverte des propriétés plus ou moins étrange d'une pierre appelée Pierre d'aimants. La description de ces propriétés nous est parvenue par Aristote qui rapporte que les pierres d'aimants si on les laisse libre de bouger autour d'un axe ont toutes tendance a s'orienter dans une direction bien particulière correspondant a peu près a l'axe nord/sud on attribue donc à ces pierres d'aimants deux pôles dont les noms correspondent aux pôles géographiques qu'ils indiquent. De plus, ces pierres ont une capacité étonnante à attirer le fer. Et une fois qu'un morceau d'acier est mis en contact suffisamment longtemps avec ces pierres, il semble copier leurs propriétés et attire lui aussi la limaille de fer! Pour finir Aristote nous explique la dénomination de ces pierres en disants que deux pierres d'aimants placées l'une a coté de l'autre s'attirent tels des amants! Les pôles de noms opposés se réunissant (comme les contraires s'attirent). De nos jours on connait un peu mieux ces pierres qu'on appelle couramment aimants et nous savons qu'elles sont constituées d'oxyde de fer (magnétite). On sait même fabriquer des aimants surpuissant mais leurs comportement est toujours conforme a ce qu'avait observé Aristote.

2. Oersted, Ampère et les courants

Quelques siècles après Aristote, en 1813, Oersted présente à ses étudiants les effets thermiques dus à la circulation du courant électrique dans un fil. Au cours de cette présentation, un de ses étudiants lui fait remarquer qu'à chaque fois que du courant passe dans le fil, un petit barreau aimanté se met à bouger sur son bureau...étrange étrange. Cette remarque qui semble pourtant anodine permit au scientifique de constater qu'il y avait un lien entre courant et champ magnétique. En effet, si on superpose un fil conducteur et une aiguille aimantée, on constate qu'un courant I traversant le fil provoque la rotation de l'aiguille aimantée dans une direction perpendiculaire au fil! Cette corrélation entre courant et champ magnétique intrigua un autre scientifique, un certain Ampère qui se mît a faire toute sorte d'expérience avec des courants, tantôt dans un fil rectiligne, tantôt dans des enroulements et de toutes ces expériences sont ressortissant les résultats suivants : • Une boucle de courant se comporte exactement comme un aimant et possède une face nord et une face sud • Deux boucles de courant interagissent comme deux aimants, a savoir que les faces nord de même nom se repoussent tandis que les faces de noms opposés se repoussent L'ensemble des phénomènes que nous venons de décrire qu'il s'agissent de courants ou d'aimants sont des phénomènes magnétiques et puisque les courants et les aimants perturbent d'une certaine manière l 'espace qui les entoure, nous dirons qu'ils sont la source d'un champ appelé champ magnétique.

3. Ce qu'on appelle magnétostatique

Dans la description des travaux qui ont permis de mettre a jour le magnétisme, il est souvent question de courant autrement dit de charges qui se déplacent. Il est donc parfaitement normal de se demander pourquoi on n'assiste pas lors de ces expériences aux effets électrostatique que nous avons décrits précédemment. La réponse vient souvent du fait que dans un fil, ou un conducteur quelconque la d'autre totale est nulle, des électrons ou des ions se déplacent, oui, mais les électrons sont proviennent toujours d'un atome neutre et les ions sont toujours issus d'un cristal ionique neutre! C'est ce constat qui va nous permettre d'étudier dans ce chapitre les phénomènes magnétiques indépendamment des phénomènes électriques. Nous allons pourtant restreindre quelque peu le champ de notre étude et nous ne nous intéresserons ici qu'a des phénomènes stationnaires (indépendant du temps) qui sont issus de courants stationnaires, constants: ce que nous étudions alors porte le nom de magnétostatique. De plus comme vous allez. Vous en rendre compte ce qui nous intéresse ici ce n'est pas la conception d'aimants bien que ce ne soit pas inintéressant, mais plutôt les phénomènes magnétiques provoquée par la circulation, le mouvement des charges et c'est ce que nous allons commencer par décrire.

II. Description d'un mouvement de charges

1. Milieux conducteurs

Un milieu conducteur est milieu possédantes charges libres de se déplacer, parmi ces milieux on trouve notamment les métaux et les solutions ioniques. Cette notion de charges libres de se déplacer est très importante, elle s'oppose directement aux charges liées qui ne peuvent pas s'éloigner d'un point donné. Pour donner un exemple, prenez un électron lié à un atome isolé, cet électron est lié au noyau de l'atome, il ne peut s'en éloigner que si on lui fournit une énergie spécieuse ou égale à son énergie de liaison: cet électron constitue une charge liée. Maintenant prenez un ion en solution, cet ion lorsqu'il est soumis à un champ électrique va se déplacer dans la solution, il ne se doit pas de rester à proximité d'un point donné (il est juste prié de rester en solution!.) Une autre définition que vous rencontrerez pour un milieu conducteur, c'est qu'un milieu conducteur est un milieu qui laisse passer le courant électrique. Et heureusement ces deux définitions son identiques, en effet qu'est ce qu'un courant? C'est un déplacement de charges et si les charges ne peuvent pas se déplacer (charges liées) le milieu ne peut pas conduire le courant électrique.

2. Densité de courant

Il est bon ici de rappeler la définition du courant électrique : Le courant électrique correspond au nombre de charges traversant une surface donnée de conducteur par unité de temps. Cette définition nous a mené dans un chapitre d'électricité à nous affranchir de la surface et on a ainsi défini la densité de courant électrique comme un vecteur dont le flux à travers une surface correspond au courant électrique. On écrira donc:

Où est le vecteur densité de courant électrique donné par:

Avec : • q la charge des porteurs • n le nombre de porteur de charge par unité de volume • La vitesse des porteurs

3. Les circuits filiformes

Le vecteur densité de courant permet de traiter décrire la circulation du courant dans un milieu conducteur quelconque mais comme nous l'avons dit un peu plus haut, ce qui nous intéressera beaucoup dans ce chapitre c'est les effets magnétiques qui résultent de la circulation du courant électrique dans un fil. En électromagnétisme, un fil conducteur, on appelle ça un circuit filiforme. Il s'agit d'une portion de conducteur dont la section est faible devant les autres dimensions (notamment la longueur). Souvent en électromagnétisme nous rencontrerons la grandeur :

Voyons comment cette grandeur évolue pour un circuit filiforme:

J'en suis conscient, pour l'heure cette relation ne vous apporte rien mais il est crucial que vous sachiez la retrouve rapidement pour ce qui va suivre. Et puisque vous devez être impatients de rentrer dans le vif du sujet... Allons-y!

III. L'interaction magnétique

1. La force et champ magnétiqu

La force magnétique a été établie expérimentalement, a partir d'expériences mettant en jeu des particules chargée en mouvement dans un champ magnétique. Voici un bref résumé des résultats expérimentaux : • Si les particules sont initialement immobiles, l'application d'un champ magnétique ne permet pas de les accélérer. • Si le champ magnétique est appliqué dans une direction parallèle à celle du vecteur vitesse, les particules ont un mouvement rectiligne uniforme • L'action du champ magnétique est proportionnelle au sinus de l'angle entre le champ magnétique et le vecteur vitesse

Cette force es appelée force de Lorentz magnétique et va nous servir à porcine notre définition du champ magnétique. En effe nous dirons qu'il règne un champ magnétique en un point de l'espace si une particule de charge q et de vitesse passant en ce point subit la force de Lorentz magnétique.

2. Conducteur en champ magnétique

On s'intéresse ici à un conducteur, un métal pourquoi pas placé dans un champ magnétique. Il va de soi que si aucun courant ne parcourt le matériau il ne se passera rien. en revanche si un courant I parcourt le conducteur on assistera à une force qui s'applique sur chacun des porteurs de charge qui se met en mouvement. Voyons quelles l'action du champ magnétique sur les charges en mouvement dans le conducteur.Ce sont des charges, elles ont une vitesse, elles sont dans un champ magnétique elles subiront donc la force de Lorentz et on peut donc écrire sur une charge :

le problème c'est qu'il n'y a pas qu'une seule charge dans lematériau, il y en a un certain nombre on notera n le nombre de charges par unité de volume ainsi dans un élément de volume dV on peut écrire que la force exercée sur l'ensemble des porteurs de charge de ce volume est:

On en déduit donc que le conducteur parcouru d'un courant I et placé dans un champ,magnétique subit une force par unité de volume donnée par :

Voyons tout de suite ce que cela peut bien donner pour un conducteur filiforme : La force appliquée sur un petit volume dV est :

Et nous reconnaissons la une grandeur connue qui nous permet de faire apparaitre le courant électrique :

Et l'expression ainsi obtenue porte le nom de force de Laplace. Cette force s'applique sur les porteurs de charges mais ceux-ci ne peuvent pas sortir du fil, les porteurs de charges ont donc transmettre cette force au 'réseau' ie au fil lui même et c'est donc a cause de cette force qu'un champ magnétique provoque le mouvement d'un fil parcouru par un courant!

3. Action du champ magnétique sur une boucle de courant

Pour qu'un courant circule, le circuit électrique doit être fermé par conséquent il apparait forcément dans le circuit des boucles de courant, c'est a dire un circuit filiforme fermé parcouru par un courant I constant. En s'appuyant sur le paragraphe précédent, la force sur le circuit fermé s'écrit :

Le champ magnétique et le courant I étant constant, on peut écrire:

La force exercée sur une boucle de courant est donc nulle, comment expliquer alors qu'une boucle de courant se comporte comme un aimant capable d'attirer ou de repousser d'autres source de champ magnétique?? La réponse a la question précédente est donnée par le cours de mécanique, il y a en réalité deux façons de faire bouger un objet, soit en lui imposant une force soit en lui appliquant couple ! Intéressons nous donc au moment des forces magnétiques.

Le premier terme peut se transformer a l'aide de l'analyse vectorielle et on peut écrire :

Quand au second terme il est tout bonnement nul, en effet :

Nous retiendrons donc qu'une boucle de courant placée dans un champ magnétique subit un couple dont l'expression est :

C'est ce couple qui provoque le déplacement d'une spire de courant lorsqu'on approche un aimant.

III. Quelques applications

1.Un moteur

Une expérience originale et malheureusement interdite dans nos classes pour mettre en évidence le couple qui s'applique sur un conducteur traversé par un courant placé dans un champ magnétique est l'expérience de la roue de Barlow. Un disque métallique de rayon R est contraint a tourner autour d'un axe placé en son centre. Il entre par le centre du disque un courant I, ce courant ne peut sortir du disque que parce que celui-ci est en contact avec un bain de mercure lui-même relié au circuit électrique. Cet ensemble (disque et bain de mercure) est placé dans un champ magnétique uniforme et stationnaire perpendiculaire a la surface du disque. Cette fois ci le conducteur n'est pas filiforme, on écrira donc que la force s'appliquant par unité de volume est:

Le moment élémentaire par rapport au centre O du disque sera alors donné par

Soit :

Le champ magnétique étant perpendiculaire au disque, le premier terme est nul et on peut écrire:

De ce résultat, on peut déduire que le disque va se mettre a tourner et il tournera d'autant plus vite que le champ magnétique et le courant I seront forts. Il s'agit donc là d'un petit moteur, peu puissant certes, mais un moteur tout de même!

2. Pompe magnétique

Jusqu'ici nous n'avons vu que les effets du couple issu de la force magnétique de Lorentz dans un conducteur métallique solide, et que se passe-t-il pour une solution? Pour le savoir on s'intéresse a une solution ionique contenue dans une canalisation rectangulaire. Sur deux faces de la canalisation, deux plaques métalliques imposent un champ électrique et provoquent la circulation du courant électrique dans une direction perpendiculaire à ces plaques. On applique un champ magnétique uniforme et stationnaire perpendiculairement au courant électrique. Sinon applique la force de laplace sur un élément de courant, on obtient :

Par propriété du produit vectoriel, la force est dans le sens de la conduite et va provoquer la circulation du fluide dans la conduite. Ce procédé est utiliser dans les centrales nucléaires pour faire circuler le sodium fondu qui sert de fluide caloporteur.

3. L'effet Hall

L'action du champ magnétique sur les courants a été utilisée pour mettre en évidence les actions mécaniques qui résultent du magnétisme. Un peu plus récemment, on a cherché un moyen de mesurer le champ magnétique en utilisant de petits conducteurs (ou semi-conducteurs) parallélépipèdique. On fait passer un courant I entre deux faces du conducteur (porté par l'axe Ox), un champ magnétique B supposé constant est appliqué dans une direction perpendiculaire (admettons que ce soit sur l'axe Oz). Chaque porteur de charge est soumis a la force de Lorentz :

Cette force est portée par l'axe Oy et de ce fait elle va pousser les porteurs de charges vers des faces par lesquelles ils ne peuvent pas sortir, conclusion on assiste a unes accumulation de charge sur les faces opposées du parallélépipède. Or vous savez que le système formés deux plans parallèles portés a des potentiels différents est assimilable a un condensateur plan ou règne un champ électrique. Dans notre cas le champ électrique s'oppose a la force de Lorentz magnétique si bien qu'en régime permanent, on peut écrire pour un porteur de charge q :

Le champ électrique ainsi créé est proportionnel au champ magnétique et finalement : E =v.B Et on en déduit l'expression de la tension aux bornes du conducteur par :

I. Expression du champ magnétique

1. une expression issue de l'expérience

Dans la partie précédente, nous avons étudié et quantifier l'action du champ magnétique sur les particules chargées ou sur les courants, mais croyez le ou non, jamais on ne vous a appris à quantifier le champ magnétique! Par conséquent, nous avons tout u tas d'expression dans lesquelles figurent le champ magnétique sans que nous ne puissions les calculer! Le but de ce chapitre est de combler cette lacune. Pour le champ électrique, les choses étaient simples, nous avions la force de coulomb et la définition du champ électrique. Dans le cas du champ magnétique, les choses sont plus compliquée et il a fallu étudier de nombreux cas avant d'obtenir une expression cohérente. Ce travail a été réalisé par messieurs Biot et Savart et le champ magnétique créé par une portion de courant I à proximité du point P crée en un point M de l'espace un champ manétique donné par la loi de Biot et Savart :

Cette loi est issue de l'expérience et nous verrons dans peu de temps qu'elle n'est pas des plus commodes à utiliser et pourtant nous allons en tirer une propriété importante du champ magnétique.

2. Les symétries

En regardant pour la première fois la loi de Biot et Savart ce qui m'a frappé c'est le signe du produit vectoriel, à vrai dire c'est lui qui inquiétait le plus l'élève que j'étais! Un mathématicien lui aurait remarqué le produit vectoriel mais parce que sa présence fait du vecteur un pseudo-vecteur c'est à dire un vecteur dont le sens dépend du sens positif choisi...tout ça est un peu mathématique, alors je vais vous donner la conséquence de tout ceci : le vecteur champ magnétique appartient aux plans d'antisymétrie et est perpendiculaire aux plans de symétrie.Pas convaincu? Vérifions-le sur l'exemple suivant!

3. Un premier exemple

On considère un fil infini parcouru par un courant constant I.

Un élément de courant à proximité d'un point P du fil crée en un point M de l'espace le champ manétique élémentaire:

En utilisant le repère cylindrique, l'expression précédente devient:

En effectuant le produit vectoriel, on obtient:

Or

Et

Finalement, on peut écrire:

L'intégration sur tout l'espace donne:

Et voilà nous avons terminé notre premier calcul de champ magnétique, et nous pouvons en déduire deux ou trois petites choses:

• Le champ magnétique est porté par le vecteur unitaire il est donc bien perpendiculaire aux plans de symétrie dont la droite commune est le fil infini.(vous voyez, je ne vous ai pas menti!!)
• Le champ magnétique n'est fonction que de la distance R distance la plus courte entre le fil et le point M.
• Imaginons maintenant que nous entourions le fil d'un tore (un tuyau circulaire), le flux du champ magnétique entrant dans chaque section de ce tore est égal au flux du champ magnétique qui en sort. On en fera une généralité: le champ magnétique est à flux conservatif!

Ces résultats sont important pour la suite de votre évolution dans l'électromagnétisme mais nous y reviendrons plus tard. Pour l'instant, vous en conviendrez, votre premier calcul de champ magnétique n'a pas été des plus simples, et en physique il y a toujours des choses simples.

II. Et plus simple c'est possible ?

1. Le théorème d'Ampère

Nous avons parlé du flux du champ magnétique, parlons maintenant de la circulation du champ magnêtique. Et pour ne pas s'appuyer sur du vide, nous allons reprendre l'exemple précédent. Prenons comme ligne fermée un cercle de rayon R entourant le fil infini, pourquoi celle-là? Eh bien parce que le champ magnétique reste constant en tous points de cette ligne, la circulation du champ magnétique sur ce contour fermé est alors donnée par :

Le courant I passe à l'intérieur de ce contour fermé, nous dirons que le contour fermé l'enlace. Et si vous y regardez de plus près, on pourrait écrire que la circulation du champ magnétique sur un contour fermé est égal au produit de la constante par la somme des courants enlacés, soit en une simple équation:

Ce qui nous ramène à :

Cette fois ci les calculs ont été plutôt brefs et ceci grâce au théorème d'Ampère:\begin{bf} La circulation du champ magnétique sur un contour fermé est égal au produit de la constante par la somme des courants enlacés par ce contour. \end{bf}

2. Le solénoide infini

Pour vous familiariser avec le théorème d'Ampère, je vous propose un petit exemple bien théorique puisque irréalisable mais qui donne un résultat des plus utiles: le solénoide infini! Il s'agit d'un enroulement de fil conducteur parcouru par un courant I, ke fil est enroulé sur un cylindre et on notera n le nombre de spire par unité de longueur (le mètre).

Commençons par étudier les symétries. Tous les plans coupant le solénoïde en deux parties égales sont plans d'antisymétries, par conséquent, le champ magnétique $\vec{B}$ appartient à leurs intersection c'est à dire à l'axe Oz. On écrira donc :

Passons maintenant à l'application du théorème d'Ampère. Nous choisirons comme contour fermé un rectangle de longueur L et de largeur supérieure au rayon R, l'un des cotés du rectangle s'apuie sur l'axe Oz. Vous pouvez bien entendu choisir d'autre contours fermés mais vous allez voir que la circulation du champ magnétique sur ce rectangle est relativement simple à calculer. En effet parmi les quatre cotés de ce rectangle seuls celui qui s'appuie sur l'axe Oz n'a pas une cidculation nulle, de ce fait :

Le contour rectangulaire ainsi défini enlace N spires, la somme des courants enlacés par notre contour sera donc et l'application du théorème d'Ampère s'écrira:

et avec on en déduit finalement :

III. Les cas d'école

1. La spire circulaire

Il vous est surement déjà arrivé d'utiliser une ralonge un peu trop grande pour vos besoins et qui avait une fâcheuse tendance à faire des boucles par terre. Eh bien voilà en gros ce que nous allons étudier, une boucle de courant sauf que comme nous sommes maniaques, nous allons étudier un fil formant un cercle parfait et parcouru par un courant constant I.

Dans ce cas-ci le théorème d'Ampère n'est pas des plus efficace et nous lui préfèrerons la loi de Biot et Savart. Comme toujours on commence par une étude des symétries, et l'intersection de tous les plans de symétries est matérialisé par l'axe Oz, le champ magnétique sera donc porté par cet axe. Une autre manière d'arriver à ce résultat est de dire que les éléments de courants situés en P et P' donnent des contributions 'horizontales' qui sont égales et opposées, elles s'annulent et il ne reste plus que les contributio,s sur l'axe Oz à sommer. On écrira en résumé que le seul terme du produit vectoriel qui compte est celui donnntbune composnte sur l'xe Oz et donc:

Il n'y a plus qu'à faire la somme de tous les éléments de courants (ce qui revient à faire la somme sur ) et on obtient:

Et en remarquant que , on obtient:

L'expression précédente est juste mais pas très explicite, vous devez bien vous douter que plus le point M prend de l'altitude, plus ce champ magnétique devient faible. Il serait donc intéressant d'exprimer le champ magnétique en fonction de l'altitude z.pour commencer intéressons nous au sinus:

En introduisant astucieusement cette expression dans l'équation précédente, on obtient en fonction de z:

On peut tracer l'intensité du champ magnétique en fonction de la distance z et on obtient la courbe de la figure suivante. On voit deux choses importantes sur cette courbe, d'une part le champ magnétique créé par la spire est faible, d'autre part, ce champ est maximal dans le plan de la spire et diminue fortement ensuite.Conclusion: n'ayez crainte, votre rallonge ne créera pas d'interférence sur votre télévision!

3. le solénoide réel

Nous avons croisé le solénoide infini, et comme tout objet infini il ne peut pas exister alors voyons le champ que crée sur son axe un solénoide réel de rayon R et de longueur L.

Ce solénoïde est composé d'un ensemble de spires circulaires, une longueur dz de solénoïde contenant spires parcourues par un courant I, va créer en un point M de l'axe du solénoide un champ élémentaire donné par :

Or :

Et donc :

L'expression à intégrer est alors :

Expression des plus simple à intégrer non?

Et nous retiendrons donc que le champ magnétique sur l'axe d'un solénoide réel est donné par :

Au final l'expression est plutôt simple mais pour la comparer à celle du solénoide infini, il serait bon de l'exprimer en fonction de la distance au centre z. Remarquons pour cela que les cosinus peuvent s'écrire:

L'expression de l'intensité du champ magnétique sur l'axe d'un solénoide réel devient donc:

D'un coup l'expression paraitmoins simple mais vous devez garder votre sang froid! Remarquez tout d'abord que le terme en facteur n'est pas bien éloigné du champ créé par un solénoide infini. Ensuite si on cherche le champ au centre du solénoide c'est à dire en z=0, on trouve:

Comparons ce champ à celui créé pr un solénoïde infini. Les deux expressions seront égales si :

Soit La correspondance sera parfaite si la longueur du solénoïde est très grande devant son rayon (on se rapprocherai alors du solénoïde infini, c'est pas beau ça?). Si on est un petit peu moins pointilleux, disons qu'on cherche une correspondance de 95 % avec la formule du solénoide infini, eh bien, je vous laisse faire le calculmais une longueur environ 6 fois supérieure au rayon suffit! Dernière remarque sur ce solénoide réel, traçons lacourbe B(z) pour un solénoide d'une longueur de 20 cm, de rayon R=2cm dontbles 800 spires par mètre sont parcourues par un courant de 3A.

Vous remarquez que le champ sur l'axe d'un solénoide est constant.La correspondance entre solénoide infini et solénoïde réel n'est mise en défaut que loin du centre, on ne pourra donc utiliser la formule du solénoïde infini que si on est au centre du solénoïde.

3. La bobine torique

Un dernier exemple qui fait parti des plus simple pour que vous ne finissiez pas ce chapitre en vous disant que la physique c'est compliqué! On s'intéresse ici à un ensemble de spire mais à la différence du solénoide les spires sont enroulé sur un tore (comme une roue de vélo). On notera N le nombre de spires contenues sur ce tore.

Tous plans contenant l'axe Oz et coupant la bobine en deux parties égales est plan de symétrie: le champ magnétique est perpendiculaire à ces plans il est donc portépar le vecteur unitaire . Pour ce cas le théorème d'ampère est tout approprié, eton prend comme courbe fermée un cercle de rayon R passant à l'intérieur du tore. On écrit alors :

le champ magnétique à l'intérieur de cette bobine est donc :

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