I. Tour d'horizon de la cinématique

Donnez moi un objet, sa masse sa vitesse et sa position initiale et je vous prédirai son avenir. Voilà ce que vous direz à la fin de ce chapitre, la mécanique newtonienne permet d'étudier le mouvement des objetsmoyennant la connaissance de leur masse et des contraintes qui lui sont appliquées. Dans ce premier chapitre, nous nous concentrerons sur la mécanique du point, nous prédirons donc l'avenir ... d'un point, cela peut paraitre étrange mais vos verrez que les applications sont des plus courantes. Pour se faire, il nous faudra tout d'abord apprendre à décrire le mouvement d'un point, sa position, sa vitesse : c'est ce que nous appelons la cinématique et c'est ce que nous allons apprendre à faire maintenant.

1. Repérer un point

Commençons simplement et intéressons nous au mouvement d'un point qu'on obligerait à se déplacer sur une droite. Pour repérer ce point il nous faudra deux choses :

• Une origine, c'est à dire un 'zéro', une référence par rapport à laquelle on va se repérer. Un choix pratique consiste à prendre pour origine la position initiale du point
• Une graduation, ce n'est rien d'autre qu'une règle finalement.

Une fois en possession des deux outils précédents, pour décrire la position d'un point sur une droite il ne faut donner qu'un seul nombre (correspondant à la graduation en face de laquelle le point se trouve). Compliquons un peu les choses et laissons le point se ballader sur tout un plan, cette fois-ci il nous faudra deux règles et pour décrire la position du point, il faudra deux nombres qu'on notera par exemple (x;y). Enfin si le point se déplace dans un espace à trois dimensions tel que celui dans lequel nous vivons, il nous faudra trois 'règles' et la position d'un point ne pourra etre correctement décrite que par la donnnée de trois nombres (x;y;z). Cet ensemble de trois axes perpendiculaires entre eux et possédant une origine commune c'est ce qu'on appelle en mécanique le repère cartésien.

Vous noterez cependant, qu'il manque quelque chose à notre description, si je vous dis le point est aux coordonnées (x;y;z) vous erez toujours en droit de vous demander à quel instant. C'est pour cela qu'en mécanique, on prend toujours avec nous une horloge et quand on rassemble cette horloge et un repère (cartésien ou non) on obtient un référentiel.

2. Les référentiels

Comme nous l'avons dit juste au dessus, un référentiel est l'association d'un repère et d'une horloge, on peut donc en fabriquer une multitude, par exemple si vous accrochez à chaque voiture qui passe un ensemble de trois axes, chaque voiture possédant une horloge, c'est autant de référentiel que vous fabriquez. Nous retiendrons pour l'instant trois référentiels que nous serons amenés à utiliser couramment :

• Le référentiel de Copernic : son origine correspond au centre de gravité du système solaire (qui n'est pas très loin du soleil) et ses trois axes pointent vers trois étoiles lointaines
• Le référentiel géocentrique dont l'origine es confondu avec le centre de la Terre et dont les axes pointent vers trois étoiles lointaines
• Le référentiel terrestre, c'est le plus courant, celui dont l'origine est lié à la surface terrestre et où les axes tournent avec la Terre

La définition d'un référentiel est la première chose à faire dans toute étude mécanique, c'est en précisant le référentiel qu'on dit avec quelle horloge on travaille, et qui sera considéré comme immobile. Par exemple, le référentiel terrestre possède l'indéniable avantage d'être le plus intuitif (c'est le plus proche de nous), en revanche, dans ce référentiel, un homme immobile sur la Terre est bien immobile mais la terre tournant sur elle même et autour du soleil: dans ce référentiel c'est le soleil qui bouge! Vous voyez donc ce qu'il vous reste à faire: Toute étude mécanique devra commencer par la définition du référentiel!

3. Vecteur position et trajectoire

Revenant à présent à notre point M se déplaçant dans l'espace muni d'un repère cartésien d'origine O. La posistion de ce point à un instant t donné sera entièrement décrite par trois nombres (x;y;z). Plutôt que de donner à chaque fois trois nombres, les physiciens ont jugéplus pratique de rassembler ces trois nombre en un seul objet : le vecteur position . A partir de ce point, la position de d'un point se déplaçant dans l'espace sera caractérisé par un seul objet le vecteur position défini par :

c'est plus pratique comme cela non? Le vecteur position évolue avec le temps et si on s'intéresse maintenant à la description de la position du point M à divers instant, il est bien moins pratique de donner un, deux, trois... vecteurs positions, en physique on préfèrera un dessin. On définit alors la trajectoire comme l'ensemble des points de l'espace (c'est une courbe) occupés par le point M au cours du temps. En fonction de l'allure de cette courbe, on attribue divers adjectifs à la trajectoire :

• Si la courbe est une droite, on dit que la trajectoire est rectiligne
• Si la courbe est un cercle, la trajectoire est circulaire
• Si la courbe est une hélice, la trajectoire est hélicoïdale

4. La vitesse

Une autre façon de caractériser la variation du vecteur position avec le temps c'est de faire comme avec les simples fonctions mathématiques : il va falloir utiliser l'outil dérivation. On définit ainsi ke vecteur vitesse instantanée :

soit dans le repère cartésien :

Ce vecteur vitesse caractérise la variation du vecteur position avec le temps,par exemple, si le vecteur vitesse est nul alors le vecteur position sera constant: le point M est immobile! Mais lorsqu'on parle de vitesse, on sait aussi que la vitesse des mobiles est rarement constante, il serait donc bon de pouvoir caractériser la variation du vecteur vitesse...

5. L'accélération

Nous tiendrons le même raisonnement que pour étudier la variation du vecteur position, nous allons dériver et comme on doit étudier la variation de trois nombres à la fois l'outil approprié est un vecteur, le vecteur accélération:

Dans le repère cartésien, ce vecteur s'écrira donc en dérivant l'expression de la vitesse:

La encore, on peut prendre un exemple pour voir l'utilité de ce vecteur. Si le vecteur accélération est nul, le vecteur vitesse est constant : en norme, en sens et notamment en direction et de ce fait la trajectoire sera rectiligne!

Les mouvements

Chacun des vecteurs qui précèdent permet de définir un type de mouvement :

• Si la norme du vecteur vitesse est constante, le mouvement est uniforme
• Si la direction du vecteur vitesse est constante, la trajectoire est rectiligne
• Si le vecteur vitesse est constant (le vecteur accélération est nul), le mouvement est rectiligne uniforme
• Si le vecteur accélération est constant et de même sens que le vecteur vitesse le mouvement est uniformément accéléré
• Si le vecteur accélération est constant et de sens opposé au vecteur vitesse le mouvement est uniformément décéléré

II. Les coordonnées polaires

1. Description du repère

Les coordonnées polaires sont utilisés dans les problèmes à deux dimensions et lorsque le point étudié possède une trajectoire proche de la trajectoire circulaire. Ce repère est composé de deux vecteurs :

• Le vecteur est un vecteur radial, il est porté par le 'rayon' et centrifuge
• Le vecteur est un vecteur orthoradial, perpendiculaire au premier

Dans ce repère le vecteur position s'écrira donc simplement :

Ce qui change énormément entre un repère cartésien et les coordonnées polaires, ce sont les vecteurs unitaires. Dans les coordonnées cartésiennes, les vecteurs de base sont fixes, ici les vecteurs tournent, ils ne sont donc pas indépendant du temps!! Et c'est pour cela qu'il faudra faire bien attention à l'expression de la vitesse...

2. Expression du vecteur vitesse

Quelque soit le repère utilisé, la définition du vecteur vitesse reste valable, il nous faut dériver les vecteur position par rapport au temps, on écrira donc : Finalement la vitesse dans les coordonées polaires s'écrit :

Pour comprendre ce calcul, vous devez retenir que la dérivée d'un vecteur unitaire (par rapport à l'angle ) est le vecteur unitaire qui lui est directement perpendiculaire.

3. Expression du vecteur accélération

La encore la définition du vecteur accélération est indépendante du repère utilisé et on pourra donc écrire :

En reprenant l'expression du vecteur vitesse obtenue précédemment :

Soit finalement l'expression de l'accélération dans les coordonées polaires :

III. Les coordonnées cylindriques/h1>

1. Description du repère

Le repère cylindrique est en quelque sorte une évolution du repère polaire, celui-ci était un repère à deux dimensions, pour le complêter il faut rajouter un vecteur unitaire qu'on notera . Le repère cylindrique permet donc de repérer aisément un point situé à la surface d'un cylindre.

Le vecteur position s'écrira donc :

L'avantage avec ce nouveau vecteur unitaire c'est que contrairement aux deux autres, il reste fixe quelque soit le mouvement du point que l'on étudie! C'est un avantage dans le calcul du vecteur vitesse...

2. Expression du vecteur vitesse

L'expression du vecteur vitesse va s'obtenir rapidement en reprenant l'expression de la vitesse en coordonnées polaires et en lui rajoutant le terme sur le vecteur :

3. Expression du vecteur accélération

Là encore l'expression du vecteur accélération s'obtient en prenant l'expression du vecteur accélération en coordonées polaires et en y rajoutant la dérivée sur l'axe Oz :

IV. Les coordonnées sphériques

1. Description du repère

Nous voici maintenant au dernier repère que nous allons voir dans ce chapitre de cinématique: le repère sphérique. Ce repère est particulièrement adapté à la description du mouvement des planètes et de tous les problèmes à symétrie sphérique. Dans ce repère, le point M est repéré par sa distance au centre (r), et par deux angles : l'angle zénithal et l'angle azimutal Ce repère comporte donc trois vecteurs unitaires qui bougent tous avec le point M étudié , le vecteur radial ; et

Le vecteur position a donc l'expression suivante :

2. Expression du vecteur vitesse

La définition du vecteur vitesse est bien entendu encore valable mais nous allons utiliser une autre méthode ici. Commençons donc par écrire la variation du vecteur position que nous noterons lorsque le point M se déplace légèrement:

L'expression du vecteur vitesse s'en déduit en divisant par dt et on obtient :

Vous remarquez ici que la dérivée n'est pas égale à !! Il en va de même pour les autres vecteurs de la base sphérique :

• 
• 
• 

3. Expression du vecteur accélération

Pour le vecteur accélération, il n'y a plus qu'à dériver le vecteur vitesse :

Soit en rassemblant les vecteurs :

La cinématique ne fait que décrire le mouvement des points, elle introduit les outils essentiels à l'étude d'un système mécanique. Maintenant, nous allons nous intéresser aux causes d'un mouvement, autrement dit nous allons nous demander pourquoi les objets (les points) se mettent en mouvement et ensuite nous allons nous demander quel va être le devenir des points une fois que ces points se seront mis en mouvement.

I. Les forces

1. La notion de force

Lorsqu'on agit sur un objet, l'action que l'on exerce est caractérisée par :

• Une direction, celle dans laquelle on exerce l'action, pour fixer les idées, on peut dire que l'action s'exerce sur la direction verticale ou horizontale
• Un sens, celui de l'action. Par exemple vers le haut ou vers le bas.
• Une intensité, c'est ce qui caractérise l'énergie que vous mettez dans l'action

L'action d'un corps sur un autre est donc caractérisée par trois grandeur, en physique, il nous faut donc un objet capable de contenir ces trois caractéristiques. Et cet objet c'est un vecteur, en physique, l'action qu'un objet exerce sur un autre sera donc représenté par un vecteur appelé force et noté possédant un sens, une direction et dont la norme ( en toute rigueur mais que nous noterons simplement F) représente l'intensité de l'action. Certains objets pourtant, ne sont soumis à aucune forces extérieures et ces objets sont dits isolés. D'autres sont soumis à un ensemble de force dont la somme est telle que l'intensité résultante est nulle, ces objets-là sont dits pseudo-isolés. Ces objets là ne nous les étudierons pas souvent mais ils sont tout de même très importants alors ne les oublions pas.

2. Forces de contact et forces à distance

Lorsqu'on prend un objet pour le déplacer, on exerce une force sur le verre,cette force est une force de contact! On appelle force de contact une force qui s'applique entre deux corps en contact. Par exemple, un fil qui retient une bille exerce une force de contact sur la bille, de même les roues d'un véhicule exercent sur le sol une force de contact. Dans d'autre circonstances, une force s'applique sur un objet sans que celui-ci ne soit en contact avec un autre. A titre d'exemple, lorsque vous lancez une balle en l'air elle retombe et pourtant rie. ne touche la balle pour la forcer à retomber mais il y a une force qui s'y applique! cette force est une force à distance! Un autre exemple? un aimant attire un morceau de fer sans que celui-ci ne soit en contact avec lui, là encore, c'est une force à distance! Voyons maintenant comment ces forces quelques qu'elles soient régissent le mouvement des objets.

II. Première Loi de Newton : Principe d'inertie

1. Enoncé

Comme je vous l'ai dit, dans ce chapitre, on s'intéresse aux causes du mouvement et l'expérience quotidienne nous dit que si un objet est immobile et qu'on ne le touche pas, qu'on ne souffle pas dessus, bref qu'on ne le perturbe cet objet ne bouge pas (même en y pensant très fort!!). La première loi de Newton tend à décrire ce constat et son énoncé est le suivant :

Le mouvement d'un solide isolé ou pseudo-isolé est rectiligne uniforme

2. Les référentiels galiléens

Le principe d'inertie nous permet de définir une classe particulière de référentiels : les référentiels galiléens. On dit qu'un référentiel est galiléen si le principe d'inertie s'y applique, illustrons un peu cette définition:

• lorsque vous posez un verre d'eau sur une table, a priori si personne ne renverse maladroitement le verre, celui-ci ne bouge pas, le mouvement du verre est donc rectiligne uniforme (c'est un cas particulier où mais qu'importe!) ce verre est soumis à deux forces, son poids et la réaction du support les deux forces s'équilibrant, il s'agit bien là d'un système pseudo-isolé. Dans cet expérience le référentiel 'salle a manger' (qui n'est autre que le référentiel terrestre est a priori galiléen, si on vous bande les yeux que l'on transporte la table, le verre et vous dans un autre référentiel où le principe d'inertie s'applique vous n'y verrez aucune différence : Les référentiels galiléens sont impossible à discerner par des expériences physiques!
• Autre petit exemple, dans les 'vieux' films américains, le permis de conduire s'obtient en posant une tasse de café sur le tableau de bord de la voiture durant le trajet, si la tasse se renverse, le permis n'est pas validé! En réalité, l'examinateur ne fait que vérifier si la voiture est un référentiel galiléen, en effet si la conduite est souple, le référentiel 'voiture' est presque tout le temps galiléen, les accélérations, les freinages vont induire la non application du principe d'inertie et par conséquent révéler le caractère non galiléen du référentiel. Pour conclure, si on vous enferme dans une pièce dont. vous ne savez rien, observez autour de vous, le mouvements des objets vous donnera toujours une indication sur la caractère galiléen de la pièce et donc sur son mouvement!

Parmi les référentiels que nous avons présentés dans le chapitre de cinématique, le référentiel qui se rapproche le plus du référentiel galiléen est le référentiel de Copernic. En ce qui concerne le référentiel géocentrique, nous savons tous que la Terre tourne autour du soleil, son mouvement n'est donc pas rectiligne uniforme vis à vis du référentiel de Copernic et ce référentiel ne saurait être galiléen, cependant il reste une bonne approximation. Enfin le référentiel terrestre, lui n'est absolument pas galiléen et pourtant quand il s'agit d'étudier la chute d'une pomme ou le mouvement d'une particule considérer ce référentiel comme galiléen est d'une très bonne approximation. Nous reviendrons sur le caractère galiléen de ces référentiels dans un chapitre sur la gravitation mais retenez déjà qu'en physique il ne faut pas être manichéen, faire des approximations n'est pas forcément une mauvaise chose, tant que vous avez la maitrise de l'erreur que ces approximations engendre, vous devrez toujours savoir décrire la fiabilité de vos résultats. Chaque théorie a son domaine d'application et fonctionne très bien dans ce domaine, ce n'est que lorsqu'on flirte avec les limites de ce domaines que des résultats étranges apparaissent. Ainsi la mécanique newtonienne que nous décrivons ici est valide pour des système ayant des vitesses faibles devant celle de la lumière et ayant des tailles caractéristiques grandes devant celles de l'atome, en gros il existe deux limites :

• La mécanique relativiste qui traite des corps se déplaçant à très grande vitesse
• La mécanique quantique qui régit le domaine microscopique, atomique et subatomique

Pour l'heure, apprenons à marcher, nous apprendrons à voler plus tard!

III. Deuxième Loi de Newton : Relation fondamentale de la dynamique

1. Enoncé

La relation fondamentale de ma dynamique (RFD) est l'outil qui va nous permettre de prédire l'avenir d'un point moyennant la connaissance des forces qui s'y appliquent et ses position et vitesse initiale, son énoncé est le suivant: La somme des forces extérieures appliquées à un objet est égale à la variation de la quantité de mouvement de cet objet avec le temps:

Pour imager tout de suite cet énoncé, nous avons vu que si un objet est soumis à un ensemble de forces de résultante nulle, cet objet ne bouge pas ou garde un vecteur vitesse constant , de ce fait on peut dire qu'en l'absence de forces la quantité de mouvement est constante, . Lorsque l'objet est soumis à une force, systématique me,t son mouvement change, c'est cela que la relation fondamentale de la dynamique nous dit! et la relation entre la force appliquée et le mouvement est étonnament simple la variation de la quantité de mouvement est égale à la force appliquée. Dans le cas où la masse est constante, la relation fondamentale de la dynamique devient :

et c'est précisément sous cette forme que nous allons commencer à appliquer la RFD...

2. Le tube de Newton

Nous commencerons notre étude de la RFD en regardant les choses tomber, et oui quand on apprend à marcher on tombe souvent et chaque chute peut nous apprendre quelque chose... Tout d'abord il faut savoir pourquoi on tombe, sans rentrer dans le détail, vous devez savoir que la Terre est une grosse 'sphère' très massive et que tout objet qui a aussi une masse sera attiré par elle : c'est l'interaction gravitationnelle! Pour l'instant restons sur Terre et retenez qu'ici bas tout objet de masse m est soumis à une force qu'on appelle Poids, dirigée vers le centre de la Terre et dont l'expression est :

où est l'accélération de la pesanteur qui vaut en moyenne . Écrivons maintenant la RFD pour un corps de masse m chutant sous la seule action de son poids dans un référentiel galiléen (c'est ce qu'on appelle la chute libre). On utilisera,pour décrire le mouvement un repère cartésien avec le vecteur descendant

Soit finalement:

Cherchons maintenant la vitesse, pour cela, il faut intégrer:

La vitesse initiale étant nulle, le vecteur $\vec{v_0}$ est nul et nous retiendrons:

Ne reste plus qu'à prédire l'altitude de l'objet en chute avec le temps et pour cela, on intègre encore:

Où tout simplement :

Cette dernière équation porte le nom d'équation horaire, ici nous n'en avons qu'une car sur l'axe horizontal Ox, nous avons pris toutes les constantes comme nulles! Faites bien attention ce n'est pas toujours le cas, à chaque intégration apparait des constantes et pour les déterminer il faut se référer aux conditions initiales, vous devrez toujours vous poser les questions:

• Y-a-t-il une vitesse initiale sur l'axe Oy?Ox?Oz
• Quelle est la position initiale sur l'axe Oy, Ox, Oz?

Mis à part ces formalités mathématiques, vous devez savoir interpréter les équations que vous obtenez, ici on remarque que l'altitude y(t) est indépendante de la masse, à priori, qu'on lâche une bille, une balle de ping pong ou une balle de tennis elles tomberont toutes de la même manière! Cela peut vous paraitre étrange mais pour le vérifier Newton eu l'idée de réaliser l'expérience dans un tube préalablement vidé de son air et oh miracle les observations expérimentales étaient bien celles attendues!!!

IV. Troisième Loi de Newton : Principe des actions réciproques

1. Enoncé

Observons enore la chute d'une pomme, lorsque la pomme se décroche de la branche, elle tombe sous l'action de son poids et la position de son centre de gravité est régie par l'équation horaire que nous avons établie au paragraphe précédent et puis la pomme finit par s'immobiliser sur le sol...Puisqu'elle est immobile, c'est qu'il s'agit d'un système pseudo-isolé: la somme des forces qui s'y appliquent est nulle, c'est à dire que le poids de la pomme s'exerce sur le sol (a priori s'il n'y avait pas le sol, la pomme continuerai sa chute jusqu'au centre de la Terre) le sol exerce sur la pomme une force qu'on appellera réaction du support et qui s'oppose exactement au poids. Une fois n'est pas coutume on peut généraliser ce constat et écrire : \textit{Si un corps A exerce sur un corps B une force alors le corps B exerce sur le corps A une force de même intensité, de même direction mais de sens opposé Ce qui pourrait se traduire par :

2. Marche ou... glisse

Une application des plus courantes de ce troisième principe est tout simplement le fait de marcher. Tout d'abord, nous commencerons par nous mettre d'accord sur un constat: \textit{il est bien plus difficile de marcher sur une plaque de glace que sur de la moquette}. La question qui se pose maintenant est Pourquoi??!! Commençons simplement, lorsqu'on se tient debout la semelle de nos chaussure ne s'enfonce pas dans le sol qui y applique une réaction du support purement verticale et dirigée vers le haut, cette réaction du support s'oppose au poids de la personne. Pour marcher, il faut pousser sur le sol, on exerce ainsi sur le sol qui n'est plus seulement le poids mais la somme du poids et d'une force horizontale dirigée vers l'arrière. Face à cette sollicitation, le sol se doit de répondre en exerçant une force exactement opposée à celle que la semelle des chaussures lui applique : il s'agit d'une réaction du support qui n'est plus verticale, elle est composée de la réaction précédente et d'une force horizontale qui ne sont rien d'autre que les frottements. Tant que le sol est capable de fournir cette force de frottement, on marche normalement, en revanche si cette force de frottement est trop faible, on se met à déraper, glisser et même parfois tomber. Dans le cas de la glace, les frottements ne sont généralement pas élevés, il est facile se glisser sur la glace et c'est pour cela que nous avons du mal à marcher sur une plaque de glace!!

I. Autour d’un équilibre

1.1 Les états d’équilibres mécaniques

Pour reprendre un exemple couramment exploité dans mes cours, considérons comme système un feutre posé sur un bureau horizontal. Si personne ne vient perturber ce feutre, il n’a aucune raison de bouger, il est donc en équilibre mécanique. Si maintenant, quelqu’un pousse le feutre, il va se déplacer mais dès qu’on arrête de le pousser il retrouve son équilibre sur le bureau : c’est un état d’équilibre indifférent. La situation n’est pas toujours aussi simple, par exemple lorsque pris par l’ennui d’un cours de physique assommant les étudiants se mettent à imaginer toutes sortes d’expériences avec leur stylos...certains tentent alors de faire tenir un stylo (ou un blanc) à la verticale, puisque le stylo peut se maintenir dans cette position, il s’agit d’un état d’équilibre ! la différence avec la situation précédente c’est qu’au moindre souffle, à la moindre vibrations, le stylo quitte cet état, il tombe) et ne reviendra jamais spontanément à la verticale : c’est un équilibre instable. Continuons encore avec ce stylo pour un dernier exemple. Imaginez que vous n’ayez qu’un seul stylo dans votre trousse(pour les enseignants c’est souvent le rouge !). Lorsque vous vous déplacez, le stylo fait des va et vient au fond de la trousse, comme une bille au fond d’une cuvette, et à chaque fois que vous vous arrêtez, le stylo revient toujours à la même position : au fond de la trousse : cet état d’équilibre est appelé équilibre stable. Au cours de ce chapitre, c’est l’état d’équilibre stable qui va le plus nous intéresser et les questions majeures auxquelles vous devrez répondre sont les suivantes : Que se passe-t-il lorsqu’on perturbe un état d’équilibre stable ? Pourquoi et comment le système revient-il vers cet état ?

1.2 Interprétation

Pour comprendre ce qui se passe dans les exemples précédents, il faut se rappeler de l’énergie potentielle : c’est cette grandeur qui caractérise l’énergie qu’un objet possède du fait de sa position et des forces qui lui sont appliquées. Ici, la seule force à prendre en considération est la force d’interaction gravitationnelle et l’énergie potentielle du feutre ou du stylo est l’énergie potentielle de pesanteur E_p(z) = mgz. Dans le cas d’un équilibre indifférent, un déplacement du feutre autour de sa position initiale n’induit pas de variation de l’énergie potentielle de pesanteur (le bureau étant supposé bien horizontal). Dans le cas d’un équilibre instable, un déplacement du feutre induit une diminution de l’énergie potentielle du feutre. Et oui lorsque le feutre est incliné, son centre de gravité est plus bas, donc son énergie potentielle de pesanteur plus faible, ainsi l’énergie potentielle du feutre est maximale dans la position d’équilibre instable. Enfin vient l’état d’équilibre stable. Tout déplacement du système autour de cette position induit une augmentation de l’énergie potentielle si bien que le système va avoir tendance à retourner dans sa position initiale (d’équilibre stable) où l’énergie potentielle est minimale..

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Et je vous entend déjà venir, ”il nous a fait tout un paragraphe à dire, un système ne bouge que si il est soumis à un ensemble de forces non nul et puis là, d’un coup le système revient à l’équilibre pour diminuer son énergie potentielle ! elles est où la force ? ?” Et c’est vrai, le système ne peut se mettre en mouvement que si il est soumis à une force, c’est la relation fondamentale de la dynamique ! Alors voici le moment où nous abandonnons le feutre sur la table, la bille au fond de la cuvette et où nous généraliserons le problème. Dans toute la partie sur les oscillations libres, nous supposerons que le système est soumis à des forces conservatives, c’est à dire des forces qui ne provoquent pas de perte d’énergie mécanique du système. or toute force conservative, qu’il s’agisse de force de pesanteur ou de force de rappel d’un ressort dérive d’un potentiel et on peut écrire :

(1)

Cette relation permet de dégager deux caractéristiques essentielles des forces conservatives :

• La force sera perpendiculaire aux surface équipotentielle (propriété du gradient)
• La force est dirigée vers les surface d’énergie potentielle faibles, c’est ce qui explique que le système tend à se déplacer vers le minimum d’énergie potentielle !

Si cette expression vous semble barbare, prenons un petit exemple pour que vous ayez les idées bien fixées. Si vous considérez l’énergie potentielle de pesanteur, en prenant pour origine des potentiels la surface du sol définie par la cote z=0 d’un axe Oz orienté vers la verticale ascendante. Les surfaces équipotentielle dans une salle de cours sont des plans parallèles au sol et plus un point est placé haut dans la salle plus son énergie potentielle est grande, les coordonnées x et y ne changent en rien le problème . Il en découle de tout ceci une force conservative :

Et vous reconnaissez là l’expression du poids .

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Vous voilà donc convaincu du lien entre l’énergie potentielle et la force, poursuivons donc le chapitre et tentons de décrire le mouvement d’un système autour de sa position d’équilibre stable...

2 Oscillations libres

2.1 Un exemple: force de rappel d’un ressort

Bien que le calcul général puisse être fait, nous prendrons ici un exemple courant qui sert souvent à modéliser le mouvement d’un système autour de sa position d’équilibre : la force de rappel d’un ressort. On considère une masse, m, attachée à l’extrémité d’un ressort de constante de raideur, k, l’autre extrémité du ressort étant maintenue fixe. La masse peut se déplacer sans frottements sur un axe horizontal Ox défini par le vecteur unitaire . La situation est résumée figure 3.

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A l’équilibre, la masse est à la position x_eq = L_eq, son énergie potentielle élastique est bel et bien minimale (elle est nulle !), en effet l’énergie potentielle élastique est donnée par :

(2)

La force de rappel du ressort étant quant à elle donnée par :

(3)

En vue d’alléger les notation on peut faire un petit changement de variable, et on notera

l’expression de la force sera ainsi :

(4)

Vous avez maintenant le cahier des charges et les outils, ne reste plus qu’à construire le bâtiment...

2.2 Équation du mouvement

Pour établir l’équation du mouvement, nous allons appliquer la Relation Fondamentale de la Dynamique au système masse dans un référentiel galiléen et dans le repère cartésien ramené à une seule dimension tel que décrit sur la figure 3.

La seule force appliquée au système est la force de rappel du ressort (4), on peut donc écrire :

Cette équation n’a aucun intérêt sur les axes Oy et Oz (on obtient y=cte et z=cte) projetons-la sur l’axe Ox en notant que a_x = , on obtient alors :

Équation qui peut aussi s’écrire :

(5)

L’équation 5 porte le nom d’équation de l’oscillateur harmonique. Il s’agit d’une équation différentielle d’ordre 2 à coefficients constants ; le discriminant de son équation caractéristique étant négatif (Δ = -4) la solution est du type :

Solution qui peut s’écrire avec lformule d’Euler :

Soit en rassemblant les termes en cosinus et ceux en sinus :

La vitesse initiale étant nulle, la dérifée f′(t) doit être nulle, et on en déduit A₂ = 0, la solution de l’équation est donc finalement :

(6)

Il s’agit d’un mouveemnt d’oscillation d’amplitude A₁ et de pulsation ω₀ = soit de période :

On dit qu’il s’agit de la période propre de l’oscillateur harmonique. C’est avec cette période que la masse va effectuer des allers-retours indéfiniment, car selon notre modèle, elle ne s’arrêtera jamais... un peu utopique non ?

3 Retour à l’équilibre

3.1 Les frottements, un phénomène dissipatif

Pour retrouver un comporteent réel, il faut introduire un phénomène de dissipation de l’énergie dans notre modélisation. Ce phénomène n’est autre que les frottements. Ceux-ci réalisent le transfert de l’énergie mécanique en énergie thermique, c’est un facteur d’irréversibilité des transformations et c’est justement à cause de cela qu’ils sont aussi les garants d’une modélisation réelle des phénomènes. Il existe cependant diverses catégories de frottements, et leurs études fera l’objet d’un chapitre entier. Pour l’heure nous nous limiterons à la description la plus simple des frottements : les frottements fluides. On supposera ainsi que nous avons placé la masse sur un rail contenant de l’huile, la vitesse de déplacement de cette masse étant faible, la force de frottement prend alors la forme :

(7)

Le coefficient α est caractéristique des dimensions de la masse et de la viscosité du fluide avec lequel elle est en contact.

Muni de cette expression, nous allons reprendre l’étude du mouvement de la masse éloignée de sa position d’équilibre.

3.2 Équation du mouvement

Pour obtenir l’équation du mouvement,il faut encore appliquer la relation fondamentale de la dynamique. On obtient ainsi après projection sur l’axe Ox :

Ce qui peut se mettre sous la forme :

(8)

Il s’agit encore d’une équation différentielle d’ordre 2 à coefficient constant mais cette fois-ci le déterminant de l’équation caractéristique n’est pas toujours négatif, il est donné par :

(9)

C’est le signe de ce discriminant qui imposera les différents régimes d’oscillations...

3.3 Les régimes d’oscillations

Trois cas peuvent se présenter en ce qui concerne le discriminant :

• Le discriminant est négatif
• Le discriminant est nul
• Le discriminant est positif

3.3.1 Le régime pseudo-périodique (Δ < 0)

Le discriminant est négatif si :

ce qui revient à dire si :

(10)

Cela correspond à un coefficient de frottement, α, qui doit être inférieur à une certaine valeur, si les frottements sont faibles, en général, cette condition est satisfaite. Il faut donc s’attendre dans ce cas à des oscillations proches de celles vu dans le paragraphe précédent, d’où le nom de ce régime : Le régime pseudo-périodique . Cette intuition mérite cependant vérification, et pour cela, il faut résoudre l’équation différentielle...

Lorsque le discriminant est négatif, les deux racines complexes conjuguées de l’équation caractéristiques sont :

• r₁ = - i
• r₂ = + i

La solution de l’équation différentielle est donc de la forme :

Solution que nous pouvons réarranger quelque peu :
X(t) = C₁.e^t.e^-it + C ₂.e^t.e^it
Soit en faisant apparaitre les fonctions cosinus et sinus :
X(t) = (C₁ + C₂).e^tcos + i.sin(C₁ - C₂).e^t
Une fois encore, la vitesse initiale sera prise nulle, ce qui permet d’obtenir C₁ = C₂ et la solution finale sera donnée par l’équation ??.

(11)

On voit que l’amplitude des oscillations (A) est modulée par une fonction exponentielle décroissante au cours du temps ce qui justifie que les frottements sont responsables du retour à l’équilibre du système.On peut tracer qualitativement la fonction X(t) et on obtient le graphe de la figure 4.

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On retrouve bien sur la figure 4 le comportement que nous attendions d’un point de vue ”logique”.

3.3.2 Le régime apériodique (Δ > 0)

Le discriminant est positif si :

ce qui revient à dire si :

(12)

Ce cas de figure correspond donc à un coefficient de frottement élevé, or si ce coefficient est très élevé on peut s’attendre à peu voir, pas d’oscillations, voyons ce que nous donne la résolution de cette équation différentielle...

Lorsque le discriminant est négatif, les deux racines complexes conjuguées de l’équation caractéristiques sont :

• r₁ = -
• r₂ = +

La solution de l’équation différentielle est donc de la forme :

Ce qui s’écrit plus communément sous la forme :

La fonction X(t) prend alors l’allure présentée par la figure 5.

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On constate sur ce graphique que les oscillations ont disparues, les frottements sont suffisamment élevés pour permettre un retour rapide de la masse à l’équilibre, on ne peut plus définir de période d’où le terme apériodique, définissant ce régime.

3.3.3 Le régime critique (Δ = 0)

C’est le cas limite entre les deux situations rencontrées précédemment, on pourrait dire que dans ce cas, les effets des frottements et de la force de rappel sont de même intensité. Les résultats sont difficiles à prévoir d’instinct cette fois-ci et il vaut mieux se fier aux résultats surs, fournis par la résolution mathématiques de l’équation différentielle.

Lorsque le discriminant est nul, il n’y a qu’une seule racine au polynôme caractéristique et elle est donnée par :

La solution de l’équation différentielle est donc de la forme :

la fonction X(t) prend alors l’allure décrite par la figure 6

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La courbe ressemble fortement à celle du régime apériodique, on n’observe pas d’oscillations. La différence se situe dans le temps nécessaire pour obtenir une amplitude nulle :le retour à l’équilibre se fait bien plus rapidement dans le cas du régime critique que dans le cas du régime apériodique.

3.4 Applications

Quel est l’intérêt d’étudier un tel phénomène, une bille au fond d’une cuvette ça n’amuse personne alors autant de calcils pour expliquer qu’elle va faire des allers-retours... La réponse est dans le petit paragraphe sur les forces conservatives, le poids en est une, la force de rappel d’un ressort aussi, mais il y en a bien d’autres comme l’interaction électrostatique qui maintient les électrons à proximité du noyau. Et c’est parce que le problème traité ici ne se résume pas à la seule force de rappel d’un ressort que les applications qui en découlent sont grandes.

Par exemple, dans tous les instruments de mesures analogiques (voltmètre ou galvanomètre), chaque variation de la grandeur mesurée perturbe l’équilibre de l’aiguille indicatrice. Si le retour de l’aiguille à une position d’équilibre (nouvelle à priori) se fait après un nombre très grand d’oscillations la mesure peut devenir quelque peu pénible. Aussi, tous ces instruments sont idéalement conçus pour fonctionner dans le régime critique, au pire des cas dans le régime apériodique !

Autre exemple. Les casques de pilotes ne doivent pas se mettre à osciller sur la tête du pilote lors d’un choc ce qui pourrait provoquer des troubles physique sévères de celui-ci. On étudie donc l’assemblage de ces casques de sorte à proscrire toute apparition d’un régime périodique. Ainsi l’amplitude du choc diminuera rapidement et le casque joue son rôle !

Nous avons parlé ici d’une perturbation limitée dans le temps du système, une autre manière de perturber le système c’est de lui appliquer une contrainte périodique, ou du moins plus longue que celle évoquée ici, l’étude qu’il nous faudra faire est alors l’étude de la résonance...

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